Question

7．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．點P從B出發(fā)沿BA 向A運動，速度為每秒1cm，點E是點B以P為對稱中心的對稱點．點P運動的同時，點Q從A出發(fā)沿AC向C運動，速度為每秒2cm．當(dāng)點Q到達頂點C時，P，Q同時停止運動．設(shè)P，Q兩點運動時間為t秒．
（1）當(dāng)x為何值時，PQ∥BC？
（2）設(shè)四邊形PQCB的面積為y，求y關(guān)于t的函數(shù)解析式；
（3）四邊形PQCB的面積與△APQ面積比為3：2？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由；
（4）當(dāng)x為何值時，△AEQ為等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求出AB，由題意得出BP=EP=t，AQ=2t，則AP=10-t，CQ=6-2t，由平行線得出比例式，即可求出t的值；
（2）作PF⊥AQ于F，則PF∥BC，得出比例式求出PF，四邊形PQCB的面積y=△ABC的面積-△APQ的面積，即可得出結(jié)果；
（3）分三種情況討論：①當(dāng)AE=AQ時；②當(dāng)AE=QE時；③當(dāng)AQ=EQ時；分別得出關(guān)于t的方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵∠C=90°，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
根據(jù)題意得：BP=EP=t，AQ=2t，
則AP=10-t，CQ=6-2t，
當(dāng)PQ∥BC時，△APQ∽△ABC，
∴$\frac{AQ}{AC}=\frac{AP}{AB}$=$\frac{PQ}{BC}$，
即$\frac{2t}{6}=\frac{10-t}{10}$，
解得：t=$\frac{30}{13}$；
∴當(dāng)t=$\frac{30}{13}$時，PQ∥BC；
（2）作PF⊥AQ于F，如圖1所示：
則PF∥BC，
∴$\frac{PF}{BC}=\frac{AP}{AB}$，
即$\frac{PF}{8}=\frac{10-t}{10}$，
∴PF=8-$\frac{4}{5}$t，
∴四邊形PQCB的面積y=△ABC的面積-△APQ的面積
=$\frac{1}{2}$×6×8-$\frac{1}{2}$×2t×（8-$\frac{4}{5}$t）=$\frac{4}{5}$t²-8t+24，
即y=$\frac{4}{5}$t²-8t+24；
（3）能；
根據(jù)題意得：$\frac{4}{5}$t²-8t+24=$\frac{3}{2}$×2t×（8-$\frac{4}{5}$t），
解得：t=5±$\sqrt{13}$，
∵6÷2=3，
∴0≤t≤3，
∴t=5-$\sqrt{13}$；
（4）分三種情況討論：
①當(dāng)AE=AQ時，10-2t=2t，
解得：t=$\frac{5}{2}$；
②當(dāng)AE=QE時，點E在AQ的垂直平分線上，
則AE=EP，
∴10-2t=t，
解得：t=$\frac{10}{3}$，不合題意，舍去；
③當(dāng)AQ=EQ時，
作EF⊥AQ于F，如圖2所示：
則EF=8-$\frac{8}{5}$t，AF=6-$\frac{6}{5}$t，
∴QF=$\frac{16}{5}$t-6，
根據(jù)勾股定理得：（2t）²=（8-$\frac{8}{5}$t）²+（$\frac{16}{5}$t-6）²，
解得：t=$\frac{25}{11}$，或t=5（不合題意，舍去），
∴t=$\frac{25}{11}$；
綜上所述：當(dāng)t=$\frac{5}{2}$或$\frac{25}{11}$時，△AEQ為等腰三角形．

點評 本題是相似形綜合題目，考查了勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積的計算、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題難度較大，綜合性強，特別是（3）中，需要進行分類討論，根據(jù)題意得出方程才能得出結(jié)果．