Question

2．如圖1，等腰梯形ABCD，AB=CD，BC∥AD，BC⊥y軸，C為垂足．點A（-3，0），B（-1，2）．
（1）直接寫出點C、D的坐標．C（0，2），D（2，0）．
（2）如圖2，若P為線段OC上一點，連接PA、PB，以PA、PB為邊作平行四邊形PAQB，連接PQ，交AB于點G．試探究：
①是否存在這樣的點P，使對角線PQ，AB的長相等，為什么？
②是否存在這樣的點P，使得PQ取得最小值？若存在，請求出這個最小值，并求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）如圖3，P為線段OC上任意一點，延長PB到E，使BE=PB，以PE、PA為邊作平行四邊形PAQE，連接PQ．請?zhí)骄繉�角線PQ的長是否也存在最小值？如果存在，直接寫出最小值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意即可求得點C、D的坐標；
（2）①首先得出四邊形PAQB為矩形，則∠APB=90°，進而得出△PAO∽△BPC，以及$\frac{PO}{BC}$=$\frac{AO}{PC}$，得出這樣的點不存在；
②設AB交PQ于點M，利用PQ取得最小值時，MP必定取得最小值，求出MP的長，即可得出答案．
（3）設AB交PQ于點M，PE∥AQ，PB=BE，可得$\frac{DG}{GA}$=$\frac{PB}{AQ}$=$\frac{1}{2}$，易證得Rt△BCP∽Rt△HAQ，繼而求得AH的長，即可求得答案；

解答 解：（1）根據(jù)題意得C（0，2），D（2，0）；
故答案為0，2，2，0；

（2）①不存在這樣的點P，使對角線PQ，AB的長相等．
理由如下：∵四邊形PAQB為平行四邊形．PQ=AB．
∴四邊形PAQB為矩形，
∴∠APB=90°．
若∠APB=90°，
則當點P在線段OC上時，可得△PAO∽△BPC．
∴$\frac{PO}{BC}$=$\frac{AO}{PC}$．
設OP=m，則$\frac{m}{1}$=$\frac{3}{2-m}$，
即m²-2m+3=0．這個方程沒有實數(shù)根．
∴∠APB=90°顯然不可能成立．
∴不存在這樣的點P，使對角線PQ，AB的長相等．

②設AB交PQ于點M，如圖所示．
∵四邊形PAQB為平行四邊形，
∴M為AB、PQ的中點．
PQ取得最小值時，MP必定取得最小值．
顯然，當P為OC的中點時，由梯形中位線定理可得MP∥CB，
∴MP⊥y軸．
此時MP取得最小值為：$\frac{1}{2}$×（1+3）=2．
∴PQ的最小值為4．
PQ取得最小值時，P（0，1）．
（3）設AB交PQ于點M，
∵PE∥CQ，PB=BE，
∴$\frac{DG}{GA}$=$\frac{PB}{AQ}$=$\frac{1}{2}$，
∴G是DC上一定點，
作QH⊥OA，交OA的延長線于H，
∵BC∥AD，
∴∠ABC=∠BAH，
∵PE∥AQ，
∴∠ABP=∠BAQ，
∴∠PBC=∠QAH，
∴Rt△BCP∽Rt△HAQ，
即$\frac{BC}{AH}$=$\frac{PB}{AQ}$=$\frac{1}{2}$，
∴AH=2，
∴OH=OA+AH=3+2=5，
∴當PQ⊥OC時，PQ的長最小，即為5．

點評 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰梯形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，注意準確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．