Question

17．一棵大樹AB（假定大樹AB垂直于地面）被刮傾斜15°后折斷在地上，樹的頂部恰好接觸到地面D處（如示意圖所示），量得大樹的傾斜角∠BAC=15°，大樹被折斷部分和地面所成的角∠ADC=60°，AD=4米，求大樹AB原來的高度是多少米？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}$≈1.4，$\sqrt{3}$≈1.7，$\sqrt{6}$≈2.4）

Answer 1

分析 過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，先由直角三角形的性質(zhì)求出∠DAC與∠DAE的度數(shù)，再由銳角三角函數(shù)的定義求出AE及DE的長(zhǎng)，在Rt△ACE中，根據(jù)AC=$\frac{CE}{sin45°}$即可得出結(jié)論．

解答 解：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，
∵∠BAD=90°，∠BAC=15°
∴∠DAC=∠BAD-∠BAC=75°，
∵∠ADC=60°，∠AED=90°，
∴∠DAE=90°-∠ADC=30°．
在Rt△ADE中，AE=AD•sin60°=2$\sqrt{3}$，
DE=AD•cos60°=4•cos60°=2．
在Rt△ACE中，
∵∠CAE=∠DAC-∠DAE=45°，
∴CE=AE•tan45°=2$\sqrt{3}$，
∴AC=$\frac{CE}{sin45°}$=2$\sqrt{6}$，
AB=AC+CE+DE=2$\sqrt{6}$+2$\sqrt{3}$+2≈10（米），
即大樹AB原來的高度約為10米．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．