Question

6．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，過(guò)A，B，D三點(diǎn)作⊙O，AE是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，AD=DC，連結(jié)DE．
（1）求證：AB=AC；
（2）若sinE=$\frac{1}{3}$，AC=4$\sqrt{2}$a，求△ADE的周長(zhǎng)（用含a的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAC=∠C，由切線的性質(zhì)得到∠DAC=∠B，于是得到結(jié)論；
（2）過(guò)A作AF⊥BC于F，∵sinB=sinE=$\frac{1}{3}$，AB=AC=4$\sqrt{2}$a，設(shè)AF=k，BF=3k，求得AF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$a，CF=BF=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$a，設(shè)CD=AD=x，則DF=$\frac{12\sqrt{5}}{5}a$-x，根據(jù)勾股定理得到AD=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$a，DF=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$a-$\frac{4\sqrt{5}}{3}$a=$\frac{16\sqrt{5}}{15}$a，于是得到結(jié)論．

解答 （1）證明∵AD=DC，
∴∠DAC=∠C，
∵AC是⊙O的切線，
∴∠DAC=∠B，
∴∠C=∠B，
∴AB=AC；
（2）解：過(guò)A作AF⊥BC于F，
∵sinB=sinE=$\frac{1}{3}$，AB=AC=4$\sqrt{2}$a，
∴設(shè)AF=k，BF=3k，
∴AB=$\sqrt{10}$k，
∴$\sqrt{10}$k=4$\sqrt{2}$a，
∴k=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$a，
∴AF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$a，CF=BF=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$a，
設(shè)CD=AD=x，則DF=$\frac{12\sqrt{5}}{5}a$-x，
∵AD²=DF²+AF²，
∴x²=（$\frac{12\sqrt{5}}{5}$a-x）²+（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$a）²，
∴x=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$a，
∴AD=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$a，DF=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$a-$\frac{4\sqrt{5}}{3}$a=$\frac{16\sqrt{5}}{15}$a，
∴△ADE的周長(zhǎng)=4$\sqrt{2}$a+$\frac{24\sqrt{5}}{5}$a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的周長(zhǎng)的計(jì)算，解直角三角形，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．