Question

15．已知關(guān)于x的函數(shù)y=ax²-2abx+ab²-1，直線(xiàn)y=-ax+3與y軸交于點(diǎn)A，與x軸的正半軸交于點(diǎn)P，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3，且AP⊥BP，AP=BP．
（1）求實(shí)數(shù)a的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若該二次函數(shù)的圖象與線(xiàn)段AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象，求出實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AP⊥BP，AP=BP先判斷出△PAB是等腰直角三角形，確定出點(diǎn)B，P的坐標(biāo)．
（2）先確定出拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后確定出拋物線(xiàn)與直線(xiàn)AB的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖象確定出b的范圍．

解答 解：過(guò)P作PC⊥AB，
∵AP⊥BP，AP=BP，
∴△APB為等腰直角三角形，
∴直線(xiàn)y=-ax+3與y軸交于點(diǎn)A，
∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為3，
∵點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3，
∴AB∥x軸，
∴PC=3
∴AB=2PC=6，
∴B（6，3），P（3，0），
∵直線(xiàn)y=-ax+3與x軸的正半軸交于點(diǎn)P，
∴-3a+3=0，
∴a=1，
（2）如圖，

由（1）有a=1，
∴關(guān)于x的函數(shù)y=ax²-2abx+ab²-1=x²-2bx+b²-1=（x-b）²-1，
∴此函數(shù)圖象是頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1的拋物線(xiàn)，
∵直線(xiàn)AB解析式為y=3，
∴拋物線(xiàn)與直線(xiàn)AB的交點(diǎn)坐標(biāo)為（b-2，3）和（b+2，3）
∴兩交點(diǎn)之間的距離為4，
∵該二次函數(shù)的圖象與線(xiàn)段AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴①當(dāng)拋物線(xiàn)和線(xiàn)段AB的左側(cè)只交一個(gè)點(diǎn)時(shí)，
∴b-2＜0，b+2≥0，
∴-2≤b＜2，
②當(dāng)拋物線(xiàn)和線(xiàn)段AB的左側(cè)只交一個(gè)點(diǎn)時(shí)，
∴b-2＜≤6，b+2＞6，
∴4＜b≤8．
∴實(shí)數(shù)b的取值范圍-2≤b＜2或4＜b≤8．

點(diǎn)評(píng) 此題是拋物線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)，解本題的關(guān)鍵是畫(huà)出圖象，分析拋物線(xiàn)與線(xiàn)段AB只有一個(gè)交點(diǎn)是解本題的難點(diǎn)．