Question

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角三角形AOB的頂點A、B分別落在坐標(biāo)軸上．O為原點，點A的坐標(biāo)為（6，0），點B的坐標(biāo)為（0，8）．動點M從點O出發(fā)．沿OA向終點A以每秒1個單位的速度運動，同時動點N從點A出發(fā)，沿AB向終點B以每秒$\frac{5}{3}$個單位的速度運動．當(dāng)一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，設(shè)動點M、N運動的時間為t秒（t＞0）．
（1）當(dāng)t=3秒時，直接寫出點N的坐標(biāo)；
（2）在此運動的過程中，△MNA的面積是否存在最大值？若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由；
（3）當(dāng)t為何值時，△MNA是一個等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）作NC⊥OA于C，在Rt△ANC中，求出NC、AC即可解決問題；
（2）過點N作NC⊥OA于C．由題意，AN=$\frac{5}{3}$t，AM=OA-OM=6-t，NC=NA•sin∠BAO=$\frac{5}{3}$t•$\frac{4}{5}$=$\frac{4}{3}$t，則：S_△MNA=$\frac{1}{2}$AM•NC=$\frac{1}{2}$×（6-t）×$\frac{4}{3}$t=-$\frac{2}{3}$（t-3）²+6，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；
（3）分三種情形方程列出方程即可解決問題．．

解答 解：（1）作NC⊥OA于C，
∵t=3時，AN=3×$\frac{5}{3}$=5，
∴CN=AN•sin∠OAB=5×$\frac{4}{5}$=4，AC=AN•cos∠OAB=5×$\frac{3}{5}$=3，
∴OC=OA-AC=3，
∴N（3，4）
故答案為N（3，4）．    

（2）過點N作NC⊥OA于C．
由題意，AN=$\frac{5}{3}$t，AM=OA-OM=6-t，
NC=NA•sin∠BAO=$\frac{5}{3}$t•$\frac{4}{5}$=$\frac{4}{3}$t，
則：S_△MNA=$\frac{1}{2}$AM•NC=$\frac{1}{2}$×（6-t）×$\frac{4}{3}$t，
=-$\frac{2}{3}$（t-3）²+6．
∴△MNA的面積有最大值，且最大值為6．   

（3）（解法1）AM=6-t，AN=$\frac{5}{3}$t （0＜t＜6），
∴AC=AN•cos∠BAO=t，
①當(dāng)AM=AN時，6-t=$\frac{5}{3}$t，即 t=$\frac{9}{4}$，
②當(dāng)MN=AN時，則NC垂直平分線段MA，
∴MC=AC=t
∵OM+MC+CA=OA
∴t+t+t=6    解得t=2
③當(dāng)MN=MA時，設(shè)D為線段AN的中點，則 MD垂直平分線段AN
∴AD=$\frac{1}{2}$AN=$\frac{5}{6}t$，
又∵cos∠DAM=cos∠OAB   （或∵△DAM∽△OAB）
∴$\frac{AD}{AM}=\frac{OA}{AB}$即 $\frac{{\frac{5}{6}t}}{6-t}=\frac{6}{10}$解得 t=$\frac{108}{43}$．

綜上，當(dāng)t的值取 2或$\frac{9}{4}$或$\frac{108}{43}$時，△MAN是等腰三角形．   
（解法2）AN=$\frac{5}{3}$t，NC=$\frac{4}{3}$t，AC=AN•cos∠BAO=t；
∴OC=OA-AC=6-t，
∴MC=|OC-OM|=|6-t-t|=|6-2t|
Rt△NCM中  NM²=MC²+NC²
∴NM=$\sqrt{{{（6-2t）}^2}+{{（\frac{4}{3}t）}^2}}$=$\sqrt{\frac{52}{9}{t}^{2}-24t+36}$，
∴$N{M^2}=\frac{52}{9}{t^2}-24t+36$，
又：AM=6-t，AN=$\frac{5}{3}$t（0＜t＜6）；
①當(dāng)MN=AN時，MN²=AN²
∴$\frac{52}{9}{t^2}-24t+36$=${（\frac{5}{3}t）^2}$，
即：t²-8t+12=0，t₁=2，t₂=6（舍去）；
②當(dāng)MN=MA時，MN²=MA²
∴$\frac{52}{9}{t^2}-24t+36$=（6-t）²，
即：$\frac{43}{9}$t²-12t=0，t₁=0（舍去），t₂=$\frac{108}{43}$；
③當(dāng)AM=AN時，6-t=$\frac{5}{3}$t，即t=$\frac{9}{4}$；
綜上，當(dāng)t的值取 2或$\frac{9}{4}$或$\frac{108}{43}$ 時，△MAN是等腰三角形．

點評 本題考查三角形綜合題、解直角三角形、銳角三角函數(shù)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學(xué)會用構(gòu)建方程的思想思考問題，學(xué)會分類討論，屬于中考壓軸題．