Question

12．已知如圖．在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l：y=kx-1與兩坐標(biāo)軸分別交于A，B，若OB=2OA，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)直線l上的點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作兩坐標(biāo)軸的垂線，垂足分別為C，D．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及k的值；
（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，四邊形OCPD的面積為y，試建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)定義域；
（3）若四邊形OCPD的面積為1，點(diǎn)Q是x軸正半軸上的點(diǎn)，且△POQ是等腰三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線l的解析式為y=kx-1，求出A（$\frac{1}{k}$，0），B（0，-1），根據(jù)OB=2OA，求出k的值及點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點(diǎn)P是第一象限內(nèi)直線l上的點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，可得P（x，2x-1），x＞$\frac{1}{2}$，再根據(jù)矩形面積公式即可求解；
（3）根據(jù)四邊形OCPD的面積為1，求出P的坐標(biāo)為（1，1），利用兩點(diǎn)間的距離公式求得OP=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，再分三種情況進(jìn)行討論：①OQ=OP=$\sqrt{2}$；②PO=PQ；③QO=QP．

解答 解：（1）∵y=kx-1，
∴當(dāng)y=0時，kx-1=0，x=$\frac{1}{k}$，
∴A（$\frac{1}{k}$，0），OA=$\frac{1}{k}$，
當(dāng)x=0時，y=-1，
∴B（0，-1），OB=1．
∵OB=2OA，
∴2×$\frac{1}{k}$=1，
∴k=2，
∴A（$\frac{1}{2}$，0）；

（2）∵直線l：y=2x-1，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)直線l上的點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，
∴P（x，2x-1），x＞$\frac{1}{2}$，
∴OC=x，CP=2x-1，
∴y=OC•CP=x（2x-1）=2x²-x，
即y=2x²-x（x＞$\frac{1}{2}$）；

（3）∵四邊形OCPD的面積為1，
∴2x²-x=1，
∴x₁=1，x₂=-$\frac{1}{2}$（不合題意舍去），
∴P（1，1），OP=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
如圖，當(dāng)點(diǎn)Q是x軸正半軸上的點(diǎn)，且△POQ是等腰三角形時，分三種情況：
①如果OQ=OP=$\sqrt{2}$，那么Q₁（$\sqrt{2}$，0）；
②如果PO=PQ，那么P在線段OQ的垂直平分線上，Q₂（2，0）；
③如果QO=QP，那么Q在線段OP的垂直平分線上．
∵P（1，1），
∴直線OP的解析式為y=x，線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
設(shè)線段OP的垂直平分線的解析式為y=-x+b，
將（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）代入，得$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$+b，解得b=1，
∴線段OP的垂直平分線的解析式為y=-x+1，
∴y=0時，-x+1=0，解得x=1，
∴Q₃（1，0）．
綜上所述，所求點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q₁（$\sqrt{2}$，0），Q₂（2，0），Q₃（1，0）．

點(diǎn)評 本題是一次函數(shù)綜合題，其中涉及到利用待定系數(shù)法求直線的解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，矩形的面積，兩點(diǎn)間的距離公式，互相垂直的兩直線斜率之積為-1的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，綜合性較強(qiáng)，難度適中．利用分類討論以及數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．