Question

4．如圖，正五邊形的邊長(zhǎng)為2，連對(duì)角線AD，BE，CE，線段AD分別與BE和CE相交于點(diǎn)M，N，則MN=3-$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得到∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；由于∠AEN=108°-36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，得到∠AEN=∠ANE，根據(jù)等腰三角形的判定定理得到AE=AN，同理DE=DM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AE}{AD}=\frac{AM}{AE}$，等量代換得到AN²=AM•AD，列方程得到MN=3-$\sqrt{5}$．

解答 解：∵∠BAE=∠AED=108°，
∵AB=AE=DE，
∴∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，
∴∠AME=180°-∠EAM-∠AEM=108°，
∵∠AEN=108°-36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，
∴∠AEN=∠ANE，
∴AE=AN，
同理DE=DM，
∴AE=DM，
∵∠EAD=∠AEM=∠ADE=36°，
∴△AEM∽△ADE，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{AM}{AE}$，
∴AE²=AM•AD
∴AN²=AM•AD；
∴2²=（2-MN）（4-MN），
∴MN=3-$\sqrt{5}$；
故答案為：3-$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正五邊形的性質(zhì)，熟練掌握正五邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．