Question

10．如圖所示，AD為△ABC的角平分線，⊙O過點A，且和BC切于點D，和AB、AC分別交于E、F．如果BD=AE，BE=3，CF=2，求AF的長．

Answer 1

分析 作直徑DG，連結EG，如圖，根據切線的性質得∠3+∠GDE=90°，再利用圓周角定理得到∠DEG=90°，則∠G+∠GDE=90°，所以∠3=∠G，加上∠4=∠G，則∠3=∠4，于是可判斷△BDE∽△BAD，利用相似比可計算出AE=$\frac{3+3\sqrt{5}}{2}$，然后證明EF∥BC，利用平行線分線段成比例定理可計算出AF的長．

解答 解：作直徑DG，連結EG，如圖，
∵BC為切線，
∴DG⊥BC，
∴∠3+∠GDE=90°，
∵DG為直徑，
∴∠DEG=90°，
∴∠G+∠GDE=90°，
∴∠3=∠G，
∵∠4=∠G，
∴∠3=∠4，
∵∠DBE=∠ABD，
∴△BDE∽△BAD，
∴BD：BA=BE：BD，
∵BD=AE，BE=3，
∴AE：（3+AE）=3：AE，
整理得AE²-3AE-9=0，解得AE=$\frac{3+3\sqrt{5}}{2}$或AE=$\frac{3-3\sqrt{5}}{2}$（舍去），
∵AD為△ABC的角平分線，
∴∠2=∠4，
∵∠1=∠2，
∴∠3=∠1，
∴EF∥BC，
∴AE：BE=AF：CF，
∴AF=$\frac{2×（3+3\sqrt{5}）}{3}$=1+$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．解決本題的關鍵是證明△BDE∽△BAD和EF∥BC．