Question

17．如圖，點(diǎn)B、C、D都在⊙O上，過(guò)C點(diǎn)作CA∥BD交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)A，連接BC，∠B=∠A=30°，BD=4$\sqrt{3}$．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）求由線段AC、AD與弧$\widehat{CD}$所圍成的陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）

Answer 1

分析 （1）連接OC，根據(jù)圓周角定理求出∠COA，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠OCA，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）求出DE，解直角三角形求出OC，分別求出△ACO的面積和扇形COD的面積，即可得出答案．

解答 （1）證明：連接OC，交BD于E，
∵∠B=30°，∠B=$\frac{1}{2}$∠COD，
∴∠COD=60°，
∵∠A=30°，
∴∠OCA=90°，
即OC⊥AC，
∴AC是⊙O的切線；

（2）解：∵AC∥BD，∠OCA=90°，BD=4$\sqrt{3}$，
∴∠OED=∠OCA=90°，
∴DE=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{3}$，
∵sin∠COD=$\frac{DE}{OD}$，
∴OD=4，
在Rt△ACO中，tan∠COA=$\frac{AC}{OC}$，
∴AC=4$\sqrt{3}$，
∴S_陰影=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$-$\frac{60•π•{4}^{2}}{360}$=8$\sqrt{3}$-$\frac{8π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線的性質(zhì)，圓周角定理，扇形的面積，三角形的面積，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，題目比較好，難度適中．