Question

1．觀察下列各式：
1×2×3×4+1=5²；
2×3×4×5+1=11²；
3×4×5×6+1=19²；
判斷是否任意四個連續(xù)正整數(shù)之積與1的和都是某個正整數(shù)的平方，并說明理由．

Answer 1

分析 此題可以先假設正確，再用任意四個連續(xù)正整數(shù)之積加上1進行因式分解，看能否得到一個正整數(shù)的平方即可．

解答 解：任意四個連續(xù)正整數(shù)之積與1的和都是某個正整數(shù)的平方．理由如下：
設四個連續(xù)的正整數(shù)為n、（n+1）、（n+2）、（n+3），
則n（n+1）（n+2）（n+3）+1
=（n²+3n）（n²+3n+2）+1
=（n²+3n）²+2（n²+3n）+1
=（n²+3n+1）²．

點評 本題考查了因式分解的應用，關(guān)鍵是能夠用代數(shù)式把題中所說的關(guān)系式列出來，然后通過運算寫成完全平方式的形式，即可證明結(jié)論正確．難點在于多項式乘以多項式的運算后，如何化為完全平方式．