Question

11．如圖，在正方形ABCD中，AB=4，點(diǎn)E為CD上一動(dòng)點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FH⊥AE，交BC于H，過H作GH⊥BD于點(diǎn)G，下列結(jié)論：①AF=FH，②∠HAE=45°，③BD=$\frac{3}{2}$FG，④△CEH的周長為定值．其中正確的是①②④（寫正確結(jié)論的序號(hào)）．

Answer 1

分析 ①作輔助線，延長HF交AD于點(diǎn)L，連接FC，通過證明△ADF≌△CDF，可得：AF=CF，故需證明FC=FH，可證：AF=FH；
②由HF⊥AP，AF=FH，可得：∠HAE=45°；
③作輔助線，連接AC交BD于點(diǎn)O，證BD=2FG，只需證OA=GF即可，根據(jù)△AOF≌△FGE，可證OA=GF，故可證BD=2FG；
④作輔助線，延長AD至點(diǎn)M，使DM=AD，過點(diǎn)C作CI∥FL，則IL=HC，可證AL=HF，再根據(jù)△MFC≌△MIC，可證：CI=IM，故△CEH的周長為邊AM的長，為定值．

解答 解：①如圖1，連接FC，延長HF交AD于點(diǎn)L．
∵BD為正方形ABCD的對(duì)角線，
∴∠ADB=∠CDF=45°，
∵AD=CD，DF=DF，
在△ADF與△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADF=CDF}\\{DF=DF}\end{array}\right.$
∴△ADF≌△CDF，
∴FC=AF，∠ECF=∠DAF，
∵∠ALH+∠LAF=90°，
∴∠LHC+∠DAF=90°，
∵∠ECF=∠DAF，
∴∠FHC=∠FCH，
∴FH=FC，
∴FH=AF，故①正確；

②∵FH⊥AE，F(xiàn)H=AF，
∴∠HAE=45°；故②正確；

③如圖2，連接AC交BD于點(diǎn)O，可知：BD=2OA，
∵∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH=90°，
∴∠AFO=∠GHF．
∵AF=HF，∠AOF=∠FGH=90°，
在△AOF與△FGH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFO=∠GHF}\\{AF=HF}\\{∠AOF=∠FGH}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△FGH，
∴OA=GF，
∵BD=2OA，
∴BD=2FG；故③錯(cuò)誤；

④如圖3，延長AD至點(diǎn)M，使DM=AD，過點(diǎn)C作CI∥FL，則：LI=HC，
根據(jù)△MEC≌△MIC，可得：CE=IM，
同理，可得：AL=HF，
∴HP+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8．
∴△CEH的周長為8，為定值，故④正確；
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)，在解題過程中要多次利用三角形全等是解題的關(guān)鍵．