Question

6．如圖，△ABC中，點E、F分別在邊AB，AC上，BF與CE相交于點P，且∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠A．

（1）如圖1，若AB=AC，求證：BE=CF；
（2）若圖2，若AB≠AC，
①（1）中的結論是否成立？請給出你的判斷并說明理由；
②求證：$\frac{BF}{CE}$=$\frac{AB}{AC}$．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性質得到∠EBC=∠FCB，根據(jù)全等三角形的判定和性質即可得到結論；
（2）①作∠A的平分線交BC于點D，連結DE、DF，于是得到∠DAF=∠DAE=$\frac{1}{2}$∠A，根據(jù)已知條件得到∠DAF=∠DAE=∠1=∠2，推出A、B、D、F四點與A、E、D、C四點分別共圓，于是得到BD=DF，DE=DC，根據(jù)全等三角形的性質即可得到結論；②根據(jù)相似三角形的性質得到$\frac{BF}{CE}=\frac{BD}{DC}$，根據(jù)三角形角平分線定理得到$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$，等量代換即可得到結論．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠EBC=∠FCB，
在△BCE與△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EBC=∠FCB}\\{BC=CB}\\{∠1=∠2}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CBF，
∴BE=CF；
（2）①成立，理由如下：作∠A的平分線交BC于點D，連結DE、DF，
則∠DAF=∠DAE=$\frac{1}{2}$∠A，
∵∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠DAF=∠DAE=∠1=∠2，
∴A、B、D、F四點與A、E、D、C四點分別共圓，
∴BD=DF，DE=DC，
∵∠BDE=∠A，∠CDF=∠A，
∴∠BDE=∠CDF，
在△DEB與△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=DF}\\{∠BDE=∠CDF}\\{DE=DC}\end{array}\right.$，
∴△DEB≌△DCF，
∴BE=CF；
②由上面的證明易知△DFB與△DEC均為等腰三角形，
∵∠1=∠2，
∴△DFB∽△DEC，
∴$\frac{BF}{CE}=\frac{BD}{DC}$，
∵AD是△ABC的內角平分線，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$，
∴$\frac{BF}{CE}=\frac{AB}{AC}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，三角形角平分線定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．