Question

16．已知直線l：y=kx；拋物線C：y=ax²+bx+1．
（Ⅰ）當(dāng)k=1，b=1時，拋物線C的頂點(diǎn)在直線l上，求a的值；
（Ⅱ）若把直線l向上平移k²+1個單位長度得到直線r，則無論非零實(shí)數(shù)k取何值．直線r與拋物線C都只有一個交點(diǎn)．
①求此拋物線的解析式；
②若P是此拋物線上任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥y軸且與直線y=2交于點(diǎn)Q，O為原點(diǎn)．求證：OP=PQ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可用a表示出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再代入直線方程可求得a的值；
（Ⅱ）①由于k為任意非零實(shí)數(shù)，可取k=1和k=2，再聯(lián)立兩解析式消去y得到的一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根可得到兩個關(guān)于a、b的方程，可求得a、b的值，可求得拋物線解析式；
②設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，連接OP，過P作PQ⊥直線y=2，作PD⊥x軸于點(diǎn)D，可分別表示出OP和PQ，可證明其相等．

解答 解：（Ⅰ）∵y=ax²+x+1=a（x+$\frac{1}{2a}$）²+1-$\frac{1}{4a}$，
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2a}$，1-$\frac{1}{4a}$），
∵拋物線頂點(diǎn)在直線y=x上，
∴-$\frac{1}{2a}$=1-$\frac{1}{4a}$，
解得a=-$\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）①∵無論非零實(shí)數(shù)k取何值，直線r與拋物線C都只有一個交點(diǎn)，
∴k=1，k=2時，直線r與拋物線C都只有一個交點(diǎn)．
當(dāng)k=1時，直線r的方程為y=x+2，代入拋物線C的解析式y(tǒng)=ax²+bx+1，可得ax²+（b-1）x-1=0，
∴△=（b-1）²+4a=0，
當(dāng)k=2時，直線r的方程為y=2x+5，代入拋物線C的解析式y(tǒng)=ax²+bx+1，有ax²+（b-2）x-4=0，
∴△=（b-2）²+16a=0，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{（b-1）^{2}+4a=0}\\{（b-2）^{2}+16a=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{36}}\\{b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
把r的直線方程y=kx+k²+1代入拋物線解析式y(tǒng)=ax²+bx+1，可得ax²+（b-k）x-k²=0，
∴△=（b-k）²+4ak²，
當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=0}\end{array}\right.$時，△=（-k）²+4•（-$\frac{1}{4}$）k²=k²-k²=0，
故無論k取何值，直線r與拋物線C都只有一個交點(diǎn)．
當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{36}}\\{b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$時，△=（$\frac{4}{3}$-k）²+4•（$\frac{1}{36}$）k²=$\frac{8}{9}$k²-$\frac{8}{3}$k+$\frac{16}{9}$，
顯然隨k值的變化，△不恒為0，不合題意舍去，
∴拋物線C的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+1；
②證明：根據(jù)題意，畫出圖象如圖，

由點(diǎn)P在拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²+1上，
∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-$\frac{1}{4}$x²+1），
連接OP，過P作PQ⊥直線y=2，作PD⊥x軸于點(diǎn)D，
∵PD=|-$\frac{1}{4}$x²+1|，OD=|x|，
∴OP=$\sqrt{P{D}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{16}{x}^{4}-\frac{1}{2}{x}^{2}+1+{x}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{16}{x}^{4}+\frac{1}{2}{x}^{2}+1}$=$\frac{1}{4}$x²+1，PQ=2-（-$\frac{1}{4}$x²+1）=$\frac{1}{4}$x²+1，
∴OP=PQ．

點(diǎn)評 本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程根的判別式、勾股定理等知識點(diǎn)．在（Ⅰ）中求得二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（Ⅱ）①中取k的特殊值得到關(guān)于a、b的二元一次方程組求得a、b的值是解題的關(guān)鍵，在②中用P點(diǎn)的坐標(biāo)分別表示出PD、OP的長是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點(diǎn)較多，計算量較大，難度較大．