Question

8．如圖，點A是⊙O上一動點，BC是⊙O的一條弦，且∠BAC=30°，點F、H分別是AB、AC的中點，直線FH與⊙O交于D、E兩點．若DF+EH的最大值是12，則⊙O的半徑是8．

Answer 1

分析 由點E、F分別是AB、AC的中點，根據(jù)三角形中位線定理得出FH=$\frac{1}{2}$BC，則DF+EH=DE-FH=GH-3.5，所以當(dāng)GH取最大值時，GE+FH有最大值．而直徑是圓中最長的弦，故當(dāng)GH為⊙O的直徑時，DF+EH有最大值12．

解答 解：設(shè)該圓的半徑是r．
當(dāng)DE為⊙O的直徑時，DF+EH有最大值．
當(dāng)DE為直徑時，H點與O點重合，
∴AC也是直徑，AC=2r．
∵∠ABC是直徑上的圓周角，
∴∠ABC=90°，
∵∠BAC=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AC=r．
∵點F、H分別是AB、AC的中點，
∴FH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$r，
∴DF+EH=DE-FH=2r-$\frac{1}{2}$r=12．
解得r=8．
故答案為：8．

點評 本題結(jié)合動點考查了圓周角定理，三角形中位線定理，有一定難度．確定GH的位置是解題的關(guān)鍵．