Question

9．已知：如圖，C是⊙A與⊙B的一個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AC，并延長(zhǎng)交⊙B于點(diǎn)D，⊙B交AB于點(diǎn)P，聯(lián)結(jié)BC、BD，AB=8，AC=6，⊙B的半徑為x，線(xiàn)段AD的長(zhǎng)為y．
（1）當(dāng)∠A=30°時(shí)，求弦CD的長(zhǎng)；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出它的定義域；
（3）聯(lián)結(jié)DP，當(dāng)∠CBD=∠A，求△BCD與△BDP的面積之比．

Answer 1

分析 （1）作BE⊥CD于點(diǎn)E，利用30°的直角△AEB，可得AE的值，就可求出CE的值，由CE=DE，可得CD=2CE即可求出CD的值．
（2）同樣利用圖1，作BE⊥CD于點(diǎn)E，先得出CE=DE，即可得出CE=$\frac{1}{2}$（AD-AC）=$\frac{1}{2}$（y-6），由⊙B的半徑為x，可得OC=x，由BE²=OC²-CE²=AB²-AE²，可得出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，由y＞6，寫(xiě)出它的定義域即可；
（3）連接DP，由∠CBD=∠A，∠BDC=∠ADB，可得△BCD∽△ABD，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方可得S_△BCD：S_△ABD=BD²：AD²，由△BDP與△ABD同底為BD，可得S_△BDP：S_△ABD=BP：AB，即可求出S_△BCD：S_△BDP的值．

解答 解：（1）如圖1，作BE⊥CD于點(diǎn)E，

∵∠A=30°，AB=8，
∴AE=4$\sqrt{3}$，
∵AC=6，
∴CE=AE-AC=4$\sqrt{3}$-6，
又∵BC=BD，
∴CE=DE，
∴CD=2CE=2×（4$\sqrt{3}$-6）=8$\sqrt{3}$-12，
（2）如圖1，作BE⊥CD于點(diǎn)E，
∵BC=BD，
∴CE=DE，
∴CE=$\frac{1}{2}$（AD-AC）=$\frac{1}{2}$（y-6），
∵⊙B的半徑為x，
∴OC=x，
∴BE²=OC²-CE²=x²-$\frac{1}{4}$（y-6）²，
∵BE²=AB²-AE²=64-（$\frac{1}{2}$y+3）²，
∴x²-$\frac{1}{4}$（y-6）²=64-（$\frac{1}{2}$y+3）²，化簡(jiǎn)得：y=$-\frac{1}{6}$x²+$\frac{32}{3}$．
（由y＞6，得出0＜x＜2$\sqrt{7}$）．
（3）如圖2，連接DP，

∵∠CBD=∠A，∠BDC=∠ADB，
∴△BCD∽△ABD，
∴S_△BCD：S_△ABD=BD²：AD²=$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}$，
∵△BDP與△ABD同底為BD，
∴S_△BDP：S_△ABD=BP：AB=$\frac{x}{8}$，
∴S_△BCD：S_△BDP=$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}$：$\frac{x}{8}$=$\frac{8x}{{y}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圓的綜合題，涉及含30度角的直角三角形，勾股定理，相似比及二次函數(shù)知識(shí)等．解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線(xiàn)，根據(jù)題意列式．