Question

19．如圖，BD為平行四邊形ABCD的對角線，O為BD的中點(diǎn)，EF⊥BD于點(diǎn)O，與AD、BC分別相交于點(diǎn)E、F，求證：四邊形BEDF是菱形．

Answer 1

分析 由四邊形ABCD是平行四邊形，即可得AD∥BC，OB=OD，易證得△BEO≌△DFO，可得OE=OF，即可證得四邊形BEDF是平行四邊形，又由EF⊥BD，即可證得四邊形BEDF是菱形．

解答 證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，BO=DO，
∴∠BEO=∠DFO，
在△BEO和△DFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEO=∠DFO}\\{∠BOE=∠DOF}\\{OB=OD}\end{array}\right.$，
∴△BEO≌△DFO（AAS），
∴OE=OF，
∴四邊形BEDF是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），
∵EF⊥BD，
∴四邊形BEDF是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）．

點(diǎn)評 此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是注意掌握菱形及平行四邊形的判定定理．