Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A（-3，0）、B（0，3），AD⊥BC于D交y軸于點(diǎn)E（0，1）．

（1）求證：AE=BC；OE=OC；
（2）如圖1，將線段CB繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°后得線段CF，連接BF，求△BCF的面積；
（3）如圖2，點(diǎn)P位y軸正半軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)Q在第三象限內(nèi)，QP⊥PC，且QP=PC，過點(diǎn)Q作QR垂直于x軸于R，求$\frac{OC-QR}{OP}$的值．

Answer 1

分析 （1）先證明∠OAE=∠EBD，再利用“ASA”證明△AOE≌△BOC，從而得到AE=BC，OE=OC；
（2）先利用勾股定理計算出BC=$\sqrt{10}$，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CF=CB=$\sqrt{10}$，∠BCF=90°，則△BCF為等腰直角三角形，然后利用三角形面積公式計算△BCF的面積；
（3）作PM⊥QR于M，如圖2，易得四邊形PMRO為矩形，則MR=PO，再證明∠QPM=∠OPC，則可利用“AAS”證明△QPM≌△CPO，所以QM=OC，然后計算$\frac{OC-QR}{OP}$的值．

解答 （1）證明：∵A（-3，0）、B（0，3），
∴OA=OB=3，
∵AD⊥BC，
∴∠BDE=90°，
∵∠BED=∠AOE，
∴∠OAE=∠EBD，
在△AOE和△BOC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠OBC}\\{OA=OC}\\{∠AOE=∠BOC}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BOC，
∴AE=BC，OE=OC；
（2）解：∵OC=OE=1，
∴BC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵線段CB繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°后得線段CF，
∴CF=CB=$\sqrt{10}$，∠BCF=90°，
∴△BCF為等腰直角三角形，
∴△BCF的面積=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{10}$×$\sqrt{10}$=5；
（3）解：作PM⊥QR于M，如圖2，
∵QR⊥x軸，PM⊥QR，
∴四邊形PMRO為矩形，
∴MR=PO，
∵QP⊥PC，
∴∠CPQ=90°，∠QPO+∠OPC=90°，
而∠QPO+∠QPM=90°，
∴∠QPM=∠OPC，
在△QPM和△CPO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠POC}\\{∠QPM=∠CPO}\\{PQ=PC}\end{array}\right.$，
∴△QPM≌△CPO，
∴QM=OC，
∴$\frac{OC-QR}{OP}$=$\frac{QM-QR}{OP}$=$\frac{MR}{OP}$=$\frac{OP}{OP}$=1．

點(diǎn)評 本題考查了幾何變換綜合題：熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；會運(yùn)用三角形全等的知識解決線段相等的問題；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)．