Question

11．已知四邊形ABCD為菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點(diǎn)E、F，且∠EAF=60°．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AE、EF、AF之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E是線段BC上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B、C重合）時(shí)，求證：BE=CF；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在線段CB上的延長(zhǎng)線上，且∠EAB=15°時(shí)，求線段FD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論AE=EF=AF．只要證明AE=AF即可證明△AEF是等邊三角形．
（2）欲證明BE=CF，只要證明△BAE≌△CAF即可．
（3）過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作FH⊥EC于點(diǎn)H，根據(jù)FH=CF•cos30°，得到CF，根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論．

解答 （1）解：結(jié)論AE=EF=AF．
理由：如圖1中，連接AC，
∵四邊形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，
∴△ABC，△ADC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠DAC=60°
∵BE=EC，
∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，
∵∠EAF=60°，
∴∠CAF=∠DAF=30°，
∴AF⊥CD，
∴AE=AF（菱形的高相等），
∴△AEF是等邊三角形，
∴AE=EF=AF．

（2）證明：連接AC，如圖2中，∵∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAE，
在△BAE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CAF}\\{BA=AC}\\{∠B=∠ACF}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△CAF，
∴BE=CF；

（3）解：過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，
∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，
∴∠AEB=45°，
在Rt△AGB中，
∵∠ABC=60°，AB=4，
∴BG=$\frac{1}{2}$AB=2，AG=$\sqrt{3}$BG=2$\sqrt{3}$，
在Rt△AEG中，
∵∠AEG=∠EAG=45°，
∴AG=GE=2$\sqrt{3}$，
∴EB=EG-BG=2$\sqrt{3}$-2，
∵△AEB≌△AFC，
∴AE=AF，EB=CF=2$\sqrt{3}$-2，
∴DF=CF+CD=2$\sqrt{3}$-2+4=2$\sqrt{3}$+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考?jí)狠S題．