Question

7．在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A（8，6）分別作x軸和y軸的平行線，交y軸于點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)C，M是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P從M點(diǎn)出發(fā)沿線段MA-AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．
（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)：B（0，，6），C（8，0）；
（2）用含有t的代數(shù)式表示線段AP的長(zhǎng)度，并直接寫出t的取值范圍．
（3）作線段OP、PM，當(dāng)三角形MOP的面積等于直角梯形AMOC的面積的$\frac{1}{2}$時(shí)，求t的值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)以及點(diǎn)A的坐標(biāo)即可求出點(diǎn)B，C的坐標(biāo)；
（2）分為兩種情況：當(dāng)P在AM上時(shí)，當(dāng)P在AC上時(shí)，求出AP，再根據(jù)點(diǎn)P的位置寫出t的取值范圍即可；
（3）分為兩種情況：當(dāng)P在AM上時(shí)，當(dāng)P在AC上時(shí)，分別求出△MOP和四邊形AMOC的面積，即可得出關(guān)于t的方程，求出t，即可得出答案．

解答 解：
（1）∵過(guò)點(diǎn)A（8，6）分別作x軸和y軸的平行線，交y軸于點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)C，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵OB⊥OC，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴OB=6，OC=8，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)（0，6），點(diǎn)C的坐標(biāo)（8，0）；

（2）∵四邊形OBAC是矩形，A（8，6），M為AB的中點(diǎn)，
∴OB=AC=6，AB=OC=8，AM=BM=4，
當(dāng)P在MA上時(shí)，AP=4-2t（0≤t≤2）；
當(dāng)P在AC上時(shí)，AP=2t-4（2＜t≤3）；

（3）當(dāng)P在AM上時(shí)，如圖1，
∵當(dāng)三角形MOP的面積等于直角梯形AMOC的面積的$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$•2t•6=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×（4+8）×6，
解得：t=3，當(dāng)t=3時(shí)，MP=6＞AM，此時(shí)不符合P在AM上，舍去；
當(dāng)P在AC上時(shí)，如圖2，
∵S_△OMP=S_{四邊形AMOC}-S_△AMP-S_△OPC=$\frac{1}{2}$×（4+8）×6-$\frac{1}{2}$×4×（2t-4）-$\frac{1}{2}$×（4+6-2t）×8=4+4t，
S_{四邊形AMOC}=$\frac{1}{2}$（4+8）×6=36，
∴4+4t=$\frac{1}{2}$×36，
解得：t=3.5，
∴AP=2t-4=3，CP=6-3=3，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了和四邊形有關(guān)的綜合性題目，用到的知識(shí)點(diǎn)有坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，矩形的判斷性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，能進(jìn)行分類討論是解此題的關(guān)鍵．