Question

2．如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別交于點E、F．
（1）若∠E=∠F時，求證：∠ADC=∠ABC；
（2）若∠E=∠F=42°時，求∠A的度數(shù)；
（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．請你用含有α、β的代數(shù)式表示∠A的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)外角的性質(zhì)即可得到結論；
（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和等量代換即可求得結果；
（3）連結EF，如圖，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠ECD=∠A，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠ECD=∠1+∠2，則∠A=∠1+∠2，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，即2∠A+α+β=180°，再解方程即可．

解答 解：（1）∠E=∠F，
∵∠DCE=∠BCF，
∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，
∴∠ADC=∠ABC；

（2）由（1）知∠ADC=∠ABC，
∵∠EDC=∠ABC，
∴∠EDC=∠ADC，
∴∠ADC=90°，
∴∠A=90°-42°=48°；

（3）連結EF，如圖，
∵四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形，
∴∠ECD=∠A，
∵∠ECD=∠1+∠2，
∴∠A=∠1+∠2，
∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，
∴2∠A+α+β=180°，
∴∠A=90°-$\frac{α+β}{2}$．

點評 本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關系的重要依據(jù)，在應用此性質(zhì)時，要注意與圓周角定理結合起來．在應用時要注意是對角，而不是鄰角互補．