Question

4．如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx-3的圖象與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．該拋物線的頂點(diǎn)為M．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）判斷△BCM的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCM相似？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）已知了拋物線圖象上的三點(diǎn)坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出該拋物線的解析式；
（2）根據(jù)B、C、M的坐標(biāo)，可求得△BCM三邊的長(zhǎng)，然后判斷這三條邊的長(zhǎng)是否符合勾股定理即可；
（3）假設(shè)存在符合條件的P點(diǎn)；首先連接AC，根據(jù)A、C的坐標(biāo)及（2）題所得△BDC三邊的比例關(guān)系，即可判斷出點(diǎn)O符合P點(diǎn)的要求，因此以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形也必與△COA相似，那么分別過(guò)A、C作線段AC的垂線，這兩條垂線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)也符合點(diǎn)P點(diǎn)要求，可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)（或射影定理）求得OP的長(zhǎng)，也就得到了點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx-3的圖象與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{9a+3b-3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
則拋物線解析式為y=x²-2x-3；
（2）△BCM為直角三角形，理由為：
對(duì)于拋物線解析式y(tǒng)=x²-2x-3=（x-1）²-4，即頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（1，-4），
令x=0，得到y(tǒng)=-3，即C（0，-3），
根據(jù)勾股定理得：BC=3$\sqrt{2}$，BM=2$\sqrt{5}$，CM=$\sqrt{2}$，
∵BM²=BC²+CM²，
∴△BCM為直角三角形；
（3）若∠APC=90°，即P點(diǎn)和O點(diǎn)重合，如圖1，

連接AC，
∵∠AOC=∠MCB=90°，且$\frac{AO}{CO}=\frac{CM}{BM}$，
∴Rt△AOC∽R(shí)t△MCB，
∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）．
若P點(diǎn)在y軸上，則∠PAC=90°，如圖2，過(guò)A作AP₁⊥AC交y軸正半軸于P₁，

∵Rt△CAP₁∽R(shí)t△COA∽R(shí)t△BCM，
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{{OP}_{1}}{OA}$，
即$\frac{1}{3}$=$\frac{O{P}_{1}}{1}$，
∴點(diǎn)P₁（0，$\frac{1}{3}$）．
若P點(diǎn)在x軸上，則∠PCA=90°，如圖3，過(guò)C作CP₂⊥AC交x軸正半軸于P₂，

∵Rt△P₂CA∽R(shí)t△COA∽R(shí)t△BCM，
∴$\frac{AO}{AC}$=$\frac{AC}{{AP}_{2}}$，
即$\frac{1}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{A{P}_{2}}$，AP₂=10，
∴點(diǎn)P₂（9，0）．
∴符合條件的點(diǎn)有三個(gè)：O（0，0），P₁（0，$\frac{1}{3}$），P₂（9，0）．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到二次函數(shù)解析式的確定、勾股定理、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，（3）題中能夠發(fā)現(xiàn)點(diǎn)O是符合要求的P點(diǎn)，是解決此題的突破口．