Question

7．如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)點P是位于直線BC下方的拋物線上一動點，過點P作y軸的平行線交直線BC于點Q，求線段PQ的最大值；
（3）在（2）的條件下，拋物線的對稱軸與直線BC交于點M，問是否存在點P，使以M、P、Q為頂點的三角形與△CBO相似？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（1，0），B（3，0），C（0，3）三點代入y=ax²+bx+c，利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式；
（2）利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式為y=-x+3．設(shè)P點坐標(biāo)為（t，t²-4t+3），則Q坐標(biāo)為（t，-t+3），那么PQ=-t+3-（t²-4t+3）=-t²+3t，再利用配方法化為頂點式，即可求出PQ的最大值；
（3）由PQ∥y軸，得出∠PQB=∠OCB，那么以M，P，Q為頂點的三角形與△OBC相似包含兩種情況：①當(dāng)△PMQ∽△OBC時，PM⊥PQ，y_P=y_M=1，易求P（2-$\sqrt{2}$，1）；②當(dāng)△MPQ∽△OBC時，先求直線PM的解析式，再聯(lián)立PM與拋物線的解析式，求出P（1，0）．

解答 解：（1）把A（1，0），B（3，0），C（0，3）三點代入y=ax²+bx+c，
得$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
則拋物線的解析式為y=x²-4x+3；

（2）設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，
將點B，C坐標(biāo)代入y=mx+n，
得$\left\{\begin{array}{l}{3m+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
所以直線BC的解析式為y=-x+3．
設(shè)P點坐標(biāo)為（t，t²-4t+3），則Q坐標(biāo)為（t，-t+3），
∴PQ=-t+3-（t²-4t+3）=-t²+3t=-（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時，PQ的值最大，最大值為$\frac{9}{4}$；

（3）∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴拋物線的對稱軸為直線x=2，
∵點M是對稱軸與直線BC的交點，
∴將x=2代入y=-x+3，得y=-2+3=1，即M（2，1）．
∵PQ∥y軸，
∴∠PQB=∠OCB，
∴以M，P，Q為頂點的三角形與△OBC相似包含兩種情況：△PMQ∽△OBC或△MPQ∽△OBC．
①當(dāng)△PMQ∽△OBC時，∠QPM=∠COB=90°，即PM⊥PQ，
∴y_P=y_M=1，
將y_P=1代入y=x²-4x+3，得x²-4x+3=1，
解得x₁=2-$\sqrt{2}$，x₂=2+$\sqrt{2}$（舍去），
∴此時P（2-$\sqrt{2}$，1）；
②當(dāng)△MPQ∽△OBC時，∠QMP=∠COB=90°，即PM⊥BC，
∴k_PM=$\frac{-1}{{k}_{BC}}$=1，
∴可設(shè)直線PM的解析式為y=x+d，
將M（2，1）代入y=x+d，
得2+d=1，解得d=-1，
∴y=x-1，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y={x}^{2}-4x+3}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=4}\\{{y}_{2}=3}\end{array}\right.$（舍去），
∴此時P（1，0）．
綜上所述，存在點P，使以點M，P，Q為頂點的三角形與△OBC相似，P點坐標(biāo)為（2-$\sqrt{2}$，1）或（1，0）．

點評 此題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式的確定，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，相似三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點等重要知識；要注意的是（3）題中，一定要根據(jù)相似三角形的不同對應(yīng)頂點來分類討論，以免漏解．