Question

4．如圖，在△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，且AB=CG，AC=BF．
（1）求證：△ABF≌△GCA；
（2）求證：AG⊥AF．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂直定義得出∠BDC=∠GEC=90°，根據(jù)等角的余角相等求出∠ABF=∠ACG，根據(jù)全等三角形的判定推出即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠F=∠GAC，求出∠GAC+∠FAE=90°，即可得出答案．

解答 證明：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC=∠GEC=90°，
∵∠DGB=∠EGC，
∴∠ABF=∠ACG（等角的余角相等），
在△ABF和△GCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CG}\\{∠ABF=∠ACG}\\{BF=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△GCA；

（2）由（1）△ABF≌△GCA，
∴∠F=∠GAC，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠F+∠FAE=90°，
∴∠GAC+∠FAE=90°，
∴AG⊥AF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，垂直定義的應(yīng)用，能求出△ABF≌△GCA是解此題的關(guān)鍵，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等．