Question

14．如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點O（0，0），A（3，4）和C（11，0），點P（t，0）是x軸上的一個動點，以P為圓心，$\frac{1}{2}$AP長為半徑，順時針方向轉(zhuǎn)90°得PB，連AB、BC、AC．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）當(dāng)t為何值時，點B在此拋物線上；
（3）當(dāng)t＞0時，在點P運動過程中，是否存在△ABC為等腰三角形？若存在，請求出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意設(shè)y=ax（x-11），代入A（3，4）即可求得a的值，從而求得解析式；
（2）作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，先證得△APD∽△PBE，對應(yīng)邊成比例求得B的坐標(biāo)，代入拋物線的解析式即可求得；
（3）分三種情況分別討論求得即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意設(shè)y=ax（x-11），
代入A（3，4）得，4=3a（3-11），解得a=-$\frac{1}{6}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{6}$x（x-11）=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{11}{6}$x；
即：$y=-\frac{1}{6}{x^2}+\frac{11}{6}x$；
（2）作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，
∴∠APD+∠PAD=90°，
∵∠APB=90°，
∴∠APD+∠BPE=90°，
∴∠PAD=∠BPE，
∵∠ADP=∠PEB=90°，
∴△APD∽△PBE，
∴$\frac{PD}{BE}$=$\frac{AD}{PE}$=$\frac{PA}{PB}$=$\frac{2}{1}$，
∵A（3，4），
∴AD=4，
∴PE=2，
∵P（t，0），
∴E（t+2，0），
∵PD=t-3，
∴BE=$\frac{1}{2}$（t-3），
∴B（t+2，$\frac{t-3}{2}$），代入$y=-\frac{1}{6}{x^2}+\frac{11}{6}x$可得$\frac{t-3}{2}$=-$\frac{1}{6}$（t+2）²+$\frac{11}{6}$（t+2），
解得t=2+$\sqrt{31}$或2-$\sqrt{31}$；
（3）∵B（t+2，$\frac{t-3}{2}$），A（3，4），C（11，0）
∴AB²=（t-1）²+（$\frac{t-3}{2}$-4）²，BC²=（t-9）²+（$\frac{t-3}{2}$）²，AC²=8²+4²=80，
當(dāng)AB=AC時，
（t-1）²+（$\frac{t-3}{2}$-4）²=80，
解得t₁=3+4$\sqrt{3}$，t₂=3-4$\sqrt{3}$
由于t＞0，所以t₂=3-4$\sqrt{3}$舍去
∴P的坐標(biāo)為（3+4$\sqrt{3}$，0）；
當(dāng)AB=BC時，（t-1）²+（$\frac{t-3}{2}$-4）²=（t-9）²+（$\frac{t-3}{2}$）²，
解得t=$\frac{9}{4}$，
當(dāng)AC=BC時，80=（t-9）²+（$\frac{t-3}{2}$）²
解得t₁=$\frac{39+\sqrt{1534}}{5}$，t₂=$\frac{39-\sqrt{1534}}{5}$，
由于t＞0，所以t₂=$\frac{39-\sqrt{1534}}{5}$舍去，
∴P點坐標(biāo)為（3+4$\sqrt{3}$，0）或（$\frac{9}{4}$，0）或（$\frac{39+\sqrt{1534}}{5}$，0）．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式以及二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形相似的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定等，分類討論思想的運用是解題的關(guān)鍵．