Question

6．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=5cm，AB=$\sqrt{46}$cm，BC=13cm，DC=$\sqrt{30}$cm．在BC上有動點P、Q，P從B到C，以2cm/s的速度運動，Q從C到B，以1cm/s的速度同時開始運動，當P到達終點時，Q也立刻停止，設運動的時間為t（s）．
（1）t的取值范圍是0≤t≤$\frac{13}{2}$；
（2）如果PQ的長為y（cm），求y關于t的函數(shù)解析式；
（3）求當t為多少時，以A、D、P、Q為頂點的凸四邊形是平行四邊形；
（4）以A、D、P、Q為頂點的凸四邊形是否為菱形？如果是，求出相應的t，如果不是，說出理由．

Answer 1

分析 （1）由距離除以速度求出最大的時間，即可得出結論；
（2）先求出點P，Q相遇的時間，再分相遇前和相遇后兩種情況即可得出結論；
（3）分兩種情況，利用平行四邊形的性質(zhì)即可得出結論；
（4）先求出AE和BE，再分兩種情況計算判斷即可得出結論．

解答 解：（1）∵BC=13，點P的速度時2cm/s，
∴t最大=13÷2=$\frac{13}{2}$，
∴0≤t≤$\frac{13}{2}$，
故答案為0≤t≤$\frac{13}{2}$；

（2）當點P和Q相遇時，BP+CQ=13，
由運動知，BP=2t，CQ=t，
∴2t+t=13，
∴t=$\frac{13}{3}$，
當0≤t≤$\frac{13}{3}$時，BP+PQ+CQ=13，
∴2t+y+t=13，
∴y=-3t+13，
當$\frac{13}{3}$＜t≤$\frac{13}{2}$時，PQ=BP+CQ-BC，
∴y=2t+t-13=3t-13；

（3）當0≤t≤$\frac{13}{3}$時，如圖1，
∵四邊形ADQP是平行四邊形，
∴PQ=AD，
∴-3t+13=5，
∴t=$\frac{8}{3}$，
當$\frac{13}{3}$＜t≤$\frac{13}{2}$時，如圖2，
∵四邊形ADPQ是平行四邊形，
∴PQ=AD，
∴3t-13=5，
∴t=6；
即：t=$\frac{8}{3}$或6時，以A、D、P、Q為頂點的凸四邊形是平行四邊形；
（4）如圖3，
過點A作AE⊥BC，過點D作DF⊥BC于F，
∴四邊形AEFD是矩形，
∴EF=AD=5，AE=DF，
∴BE+CF=8，
在Rt△ABE中，AE²=AB²-BE²，
在Rt△CDF中，AE²=CD²-DF²，
∴46-BE²=30-（8-BE）²，
∴BE=5，
∴CF=3，
∴AE=DF=$\sqrt{21}$
當0≤t≤$\frac{13}{3}$時，如圖5，
假設以A、D、P、Q為頂點的凸四邊形能為菱形，
∴t=$\frac{8}{3}$，且AP=AD=5，
∴BP=2t=$\frac{16}{3}$，
∴PE=BP-BE=$\frac{1}{3}$，
在Rt△APE中，AP=$\sqrt{A{E}^{2}-P{E}^{2}}$=$\sqrt{21-\frac{1}{9}}$≠5，
此種情況四邊形ADQP不能是菱形；
當$\frac{13}{3}$＜t≤$\frac{13}{2}$時，如圖4，
假設以A、D、P、Q為頂點的凸四邊形能為菱形，
∴t=6，且AP=AQ=5，
∴BQ=BC-CQ=13-6=7，
∴EQ=BQ-BE=2，
在Rt△AQE中，AQ=$\sqrt{A{E}^{2}+E{Q}^{2}}$=$\sqrt{21+4}$=5，
∴四邊形ADPQ是菱形；
即：t=6時，以A、D、P、Q為頂點的凸四邊形是菱形．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了梯形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，解（2）的關鍵是求出點P，Q相遇時的時間，解（3）的關鍵是分類討論的思想解決問題，解（4）的關鍵是構造直角三角形．