Question

17．已知一次函數(shù)y₁=x+b 的圖象與二次函數(shù)y₂=a（x²+bx+3）（a≠0，a，b 為常數(shù)）的圖象交于A、B 兩點(diǎn)，且點(diǎn)A 的坐標(biāo)為（0，3）
（1）求出a，b 的值；
（2）求出點(diǎn)B 的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出當(dāng)y₁≥y₂時(shí)x 的取值范圍；
（3）設(shè)s=y₁+y₂，t=y₁-y₂，若n≤x≤m 時(shí)，s 隨著x 的增大而增大，且t 也隨著x 的增大而增大，求n 的最小值和m 的最大值．

Answer 1

分析 （1）把A（0，3）代入y₁和y₂中可求得a、b的值；
（2）列方程組，解出即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，畫(huà)圖象，根據(jù)圖象得出當(dāng)y₁≥y₂時(shí)x 的取值范圍；
（3）分別求出兩函數(shù)s、t的解析式，并配方成頂點(diǎn)式，寫(xiě)出當(dāng)s 隨著x 的增大而增大，且t 也隨著x 的增大而增大的x的取值，與n≤x≤m相對(duì)應(yīng)得出結(jié)論．

解答 解：（1）把A（0，3）代入y₁=x+b中得：b=3，
∴y₁=x+3，y₂=a（x²+3x+3），
把A（0，3）代入y₂=a（x²+3x+3）中得：3a=3，a=1，
∴a=1，b=3；                                    
（2）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y={x}^{2}+3x+3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$  $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$，
∴B（-2，1），
如圖所示，當(dāng)y₁≥y₂時(shí)x 的取值范圍是：-2≤x≤0；                       
（3）s=y₁+y₂=x+3+x²+3x+3=x²+4x+6=（x+2）²+2，
∵拋物線開(kāi)口向上，
∴當(dāng)x≥-2時(shí)，s 隨著x 的增大而增大，
t=y₁-y₂=x+3-（x²+3x+3）=-x²-2x=-（x+1）²+1，
∵拋物線開(kāi)口向下，
∴當(dāng)x≤-1時(shí)，t隨著x 的增大而增大，
∴當(dāng)-2≤x≤-1時(shí)，s 隨著x 的增大而增大，且t 也隨著x 的增大而增大，
∵n≤x≤m，s 隨著x 的增大而增大，且t 也隨著x 的增大而增大，
∴n 的最小值-2，m 的最大值-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，明確二次函數(shù)的增減性與拋物線的對(duì)稱軸有關(guān)，因此要把二次函數(shù)配方成頂點(diǎn)式后寫(xiě)出它的對(duì)稱軸；本題還利用了數(shù)形結(jié)合的思想解決了：當(dāng)y₁≥y₂時(shí)x 的取值范圍；此類題有難度，要熟練掌握二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)．