Question

11．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，交BC于點E．
（1）求證：BE=CE；
（2）若BD=2，BE=3，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AE，如圖，根據(jù)圓周角定理，由AC為⊙O的直徑得到∠AEC=90°，然后利用等腰三角形的性質(zhì)即可得到BE=CE；
（2）連結(jié)DE，如圖，證明△BED∽△BAC，然后利用相似比可計算出AB的長，從而得到AC的長．

解答 （1）證明：連結(jié)AE，如圖，
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠AEC=90°，
∴AE⊥BC，
而AB=AC，
∴BE=CE；
（2）連結(jié)DE，如圖，
∵BE=CE=3，
∴BC=6，
∵∠BED=∠BAC，
而∠DBE=∠CBA，
∴△BED∽△BAC，
∴$\frac{BE}{BA}$=$\frac{BD}{BC}$，即$\frac{3}{BA}$=$\frac{2}{6}$，
∴BA=9，
∴AC=BA=9．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形．也考查了角平分線的性質(zhì)和圓周角定理．