Question

20．點P是圓外一點，點M，N分別是弧$\widehat{AB}$、$\widehat{CD}$的中點，求證：△PEF為等腰三角形．

Answer 1

分析 首先連接AM，CN，根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關系和圓周角定理得出∠MAE和∠EMA的度數(shù)和等于$\widehat{BM}$、$\widehat{AC}$、$\widehat{CN}$度數(shù)和的一半，∠FCN和∠CNF的度數(shù)和等于$\widehat{DN}$、$\widehat{AC}$、$\widehat{AM}$度數(shù)和的一半，繼而可證得∠MAE+∠EMA=∠FCN+∠CNF，則可得∠PEF=∠PFE，然后證得PE=PF，

解答 解：證明：連接AM和CN，
∵點M，N分別是弧$\widehat{AB}$、$\widehat{CD}$的中點，
∴$\widehat{BM}$=$\widehat{AM}$，$\widehat{DN}$=$\widehat{CN}$，
∵∠MAE和∠EMA的度數(shù)和等于$\widehat{BM}$、$\widehat{AC}$、$\widehat{CN}$度數(shù)和的一半，
∠FCN和∠CNF的度數(shù)和等于$\widehat{DN}$、$\widehat{AC}$、$\widehat{AM}$度數(shù)和的一半，
∴∠MAE+∠EMA=∠FCN+∠CNF，
∵∠PEF=∠MAE+∠EMA，∠PFE=∠FCN+∠CNF，
∴∠PEF=∠PFE，
∴PE=PF，
即△PEF是等腰三角形．

點評 此題考查了圓周角定理以及等腰三角形的判定．注意作出輔助線，掌握圓周角與弧的關系是關鍵．