Question

11．a(chǎn)、b是方程3-x=$\frac{8}{x}$+9的實(shí)數(shù)根（a＞b）．若在直角坐標(biāo)系xOy中，x軸上的動點(diǎn)P（x，0）到定點(diǎn)M（a，5），N（b，1）的距離分別是MP和NP，當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的值是-$\frac{11}{3}$時，MP+NP的值最小？

Answer 1

分析 解方程3-x=$\frac{8}{x}$+9求得a、b，得到M（-2，5），N（-4，1），作N關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)N′，連接MN′交x軸于P，此時PM+PN的值最小，根據(jù)N的坐標(biāo)得到N′的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得直線MN′的解析式，令y=0，則3x+11=0，即可求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

解答 解：解方程3-x=$\frac{8}{x}$+9，得x₁=-2，x₂=-4，
∵a、b是方程3-x=$\frac{8}{x}$+9的實(shí)數(shù)根（a＞b）．
∴a=-2，b=-4，
∴M（-2，5），N（-4，1），如圖，

作N關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)N′，連接MN′交x軸于P，此時PM+PN的值最小，
∵N（-4，1），
∴N′（-4，-1），
設(shè)直線MN′的解析式為y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=5}\\{-4k+b=-1}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=11}\end{array}\right.$，
∴直線MN′的解析式為y=3x+11，
令y=0，則3x+11=0，
解得x=-$\frac{11}{3}$．
故答案為-$\frac{11}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了分式方程的解，軸對稱的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，確定P的位置是解題的關(guān)鍵．