Question

12．如圖，在?ABCD中，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，連接EC、AF，AF與EC交于點(diǎn)M，AF的延長(zhǎng)線與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N．
（1）求證：AB=CN；
（2）若AB=2n，BE=2MF，試用含n的式子表示線段AN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由在?ABCD中，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，易證得△ABF≌△NCF（AAS），繼而證得結(jié)論；
（2）由AB∥DN，易證得△AEM∽△NCM，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，且E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，求得$\frac{AM}{MN}=\frac{AE}{CN}=\frac{1}{2}$，然后由$BE=\frac{1}{2}AB$，AB=2n，BE=2MF，AF=FN，求得AN=3n．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DN，
∴∠B=∠FCN，∠BAF=∠N，
∵F是BC的中點(diǎn)，
∴BF=CF，
在△ABF和△NCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠FCN}\\{∠BAF=∠N}\\{BF=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△NCF（AAS），
∴AB=CN；

（2）解：∵AB∥DN，
∴△AEM∽△NCM，
∴$\frac{AM}{MN}=\frac{AE}{CN}$，
∵AB=CN，且E是AB的中點(diǎn)，
∴$\frac{AM}{MN}=\frac{AE}{CN}=\frac{1}{2}$，
∵$BE=\frac{1}{2}AB$，AB=2n，BE=2MF，
∴BE=n，$MF=\frac{1}{2}n$，
∴$\frac{AF-MF}{FN+MF}=\frac{1}{2}$，
由△ABF≌△NCF，可得AF=FN，
∴$\frac{{AF-\frac{1}{2}n}}{{AF+\frac{1}{2}n}}=\frac{1}{2}$，
∴$AF=\frac{3}{2}n$，
∴AN=3n．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意借助于全等三角形與相似三角形的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．