Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-x+5與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx+5經(jīng)過點(diǎn)B，與x軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)A，且BO=5AO，
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P為拋物線第一象限函數(shù)圖象上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，△PBC的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線BC上，當(dāng)以AD為一邊，點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，求m的值．

Answer 1

分析 （1）先求出點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，進(jìn)而求得OB=5，即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）先求出OB，OC，再表示出OH，PH，HB，用面積的和差，S=S_△PBC=S_{四邊形OCPH}+S_△PHB-S_△BOC即可得出結(jié)論；
（3）先設(shè)出點(diǎn)Q坐標(biāo)，求出AD，再由以AD為一邊，點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，得出PQ∥AD，PQ=AD，即可建立方程求出m的值．

解答 解：（1）∵直線y=-x+5與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，
∴B（5，0），C（0，5），
∴OB=5，
∵BO=5AO，
∴AO=1，
∴A（-1，0），
∵拋物線y=ax²+bx+5經(jīng)過點(diǎn)B，與x軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)A，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+5=0}\\{25a+5b+5=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為：y=-x²+4x+5；
（2）如圖1，過點(diǎn)P作PH⊥AB于H，
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，
∴P（m，-m²+4m+5）
∵C（0，5），B（5，0），
∴OC=5，OB=5，OH=m，HB=5-m，PH=-m²+4m+5
∴S=S_△PBC=S_{四邊形OCPH}+S_△PHB-S_△BOC=$\frac{1}{2}$（OC+PH）×OH+$\frac{1}{2}$PH×BH-$\frac{1}{2}$OB×OC
=$\frac{1}{2}$[5+（-m²+4m+5）]×m+$\frac{1}{2}$（-m²+4m+5）（5-m）-$\frac{1}{2}$×5×5
=-$\frac{5}{2}$m²+$\frac{25}{2}$m．）（0＜m＜5）
（3）∵A（-1，0），B（5，0），
∴AB=6
∵點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，∴AD=$\frac{1}{2}$AB=3，
設(shè)Q（n，-n+5），P（m，-m²+4m+5），（0＜m＜5）
當(dāng)以AD為一邊，點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，
∴PQ∥AD，PQ=AD，
∴-n+5=-m²+4m+5①，|m-n|=3②
聯(lián)立①②得，|m-m²+4m|=|m²-5m|=3
∵0＜m＜5，
∴m²-5m+3=0
∴m=$\frac{5±\sqrt{13}}{2}$．
即：m=$\frac{{5+\sqrt{13}}}{2}$，或m=$\frac{{5-\sqrt{13}}}{2}$．

點(diǎn)評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標(biāo)系中圖形的面積計(jì)算方法，平行四邊形的判定，解本題的關(guān)鍵是判斷出PQ∥AD，PQ=AD．