Question

4．已知，如圖，在△ABC中：
（1）如圖①，∠ABC、∠ACB的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)O，若∠A=60°，則∠BOC的度數(shù)為120°；
（2）如圖②，∠ABC、∠ACB的三等分線(xiàn)分別對(duì)應(yīng)交于O₁、O₂，當(dāng)∠BO₂C=2∠A時(shí)，求∠A的度數(shù)；
（3）如圖③，∠ABC、∠ACB的n等分線(xiàn)分別對(duì)應(yīng)交于O₁、O₂…O_n-1，當(dāng)∠BO_n-1C=2∠A時(shí)，猜想：∠A的度數(shù)為$\frac{180°}{n+1}$（用含n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，再由角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出∠OBC+∠OCB的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理表示得∠ABC+∠ACB，再根據(jù)三等分線(xiàn)的定義求得∠O₂BC+∠O₂CB，即可用∠A表示∠BO₂C，建立方程求解即可；
（3）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理表示得∠ABC+∠ACB，再根據(jù)n等分線(xiàn)的定義表示得∠O_n-1BC+∠O_n-1CB，即可表示出∠BO_n-1C．最后建立方程求解即可．

解答 解：（1）∵OB、OC分別是∠ABC和∠ACB的角平分線(xiàn)，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
∵∠A=60°，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（180°-60°）=60°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-60°
=120°，
故答案為：120°；
（2）∵點(diǎn)O₂是∠ABC與∠ACB的三等分線(xiàn)的交點(diǎn)，
∴∠O₂BC+∠O₂CB=$\frac{2}{3}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{2}{3}$（180°-∠A），
∵∠BO₂C=2∠A
∴∠BO₂C=180°-（∠O₂BC+∠O₂CB）=180°-$\frac{2}{3}$（180°-∠A）=2∠A，
∴∠A=45°

（3）∵點(diǎn)O_n-1是∠ABC與∠ACB的n等分線(xiàn)的交點(diǎn)，
∴∠O_n-1BC+∠O_n-1CB=$\frac{n-1}{n}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{n-1}{n}$×（180°-∠A），
∴∠BO_n-1C=180°-$\frac{n-1}{n}$×（180°-∠A），
∵∠BO_n-1C=2∠A，
∴180°-$\frac{n-1}{n}$×$\frac{n-1}{n}$×（180°-∠A）=2∠A，
∴∠A=$\frac{180°}{n+1}$，
故答案為：$\frac{180°}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形內(nèi)角和定理，主要考查練習(xí)角的等分線(xiàn)的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)題意找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．