Question

17．如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠A=2∠C．
（1）若∠C=38°，則∠ABD=33°；
（2）求證：BC=AB+AD；
（3）求證：BC²=AB²+AB•AC．

Answer 1

分析 （1）在BC上截取BE=AB，利用“邊角邊”證明△ABD和△BED全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE=AD，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠AED=∠A，然后求出∠C=∠CDE，根據(jù)等角對等邊可得CE=DE，然后結(jié)合圖形整理即可得證；
（2）由（1）知：△ABD≌△BED，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE=AD，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠AED=∠A，然后求出∠C=∠CDE，根據(jù)等角對等邊可得CE=DE，等量代換得到EC=AD，即得答案BC=BE+EC=AB+AD；
 （3）為了把∠A=2∠C轉(zhuǎn)化成兩個角相等的條件，可以構(gòu)造輔助線：在AC上取BF=BA，連接AE，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理的推論能夠證明AB=F．再根據(jù)勾股定理表示出BC²，AB²．再運用代數(shù)中的公式進行計算就可證明．

解答 解：（1）在BC上截取BE=BA，如圖1，
在△ABD和△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BA}\\{∠ABD=∠EBD}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BED，
∴∠BED=∠A，
∵∠C=38°，∠A=2∠C，
∴∠A=76°，
∴∠ABC=180°-∠C-∠A=66°，
BD平分∠ABC，
∴∠ABD=33°；

（2）由（1）知：△ABD≌△BED，
∴BE=AB，DE=AD，∠BED=∠A，
又∵∠A=2∠C，
∴∠BED=∠C+∠EDC=2∠C，
∴∠EDC=∠C，
∴ED=EC，
∴EC=AD
∴BC=BE+EC=AB+AD；

（3）如圖2，過B作BG⊥AC于G，
以B為圓心，BA長為半徑畫弧，交AC于F，
則BF=BA，
在Rt△ABG和Rt△GBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BF}\\{AG=AG}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABG≌Rt△GBG，
∴AG=FG，
∴∠BFA=∠A，
∵∠A=2∠C，
∴∠BFA=∠FBC+∠C=2∠C，
∴∠FBC=∠C，
∴FB=FC，
FC=AB，
在Rt△ABG和Rt△BCG中，
BC²=BG²+CG²，
AB²=BG²+AG²
∴BC²-AB²=CG²-AG²=（CG+AG）（CG-AG）
=AC（CG-GF）=AC•FC
=AC•AB．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，等角對等邊的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形和等腰三角形是解題的關(guān)鍵．