Question

6．如圖，海上有一個(gè)小島P，它的周圍12海里有暗礁，漁船由西向東航行，在點(diǎn)A測(cè)得小島P在北偏東60°方向上，航行12海里到達(dá)B點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小島P在北偏東45°方向上．如果漁船不改變航線繼續(xù)向東行駛，有沒有觸礁的危險(xiǎn)，通過計(jì)算說明．

Answer 1

分析 過點(diǎn)P作PD⊥AB于D，在Rt△PBD和Rt△PAD中，根據(jù)三角函數(shù)AD，BD就可以PD表示出來，根據(jù)AB=12海里，就得到一個(gè)關(guān)于PD的方程，求得PD．從而可以判斷如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，沒有觸礁危險(xiǎn)．

解答 解：沒有觸礁危險(xiǎn)．
理由：過點(diǎn)P作PD⊥AC，交AB延長線于D．
設(shè)PD為x，在Rt△PBD中，
∠PBD=90°-45°=45°．
∴BD=PD=x．
在Rt△PAD中，
∵∠PAD=90°-60°=30°
∴AD=$\frac{x}{tan30°}$=$\sqrt{3}$x，
∵AD=AB+BD，
∴$\sqrt{3}$x=12+x
∴x=$\frac{12}{\sqrt{3}-1}$=6（$\sqrt{3}$+1），
∵6（$\sqrt{3}$+1）＞12，
∴漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，沒有觸礁危險(xiǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查解直角三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解題的前提和關(guān)鍵．