Question

1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意兩點(diǎn)P₁（x₁，y₁）與P₂（x₂，y₂）的“非常距離”，給出如下定義：
若|x₁-x₂|≥|y₁-y₂|，則點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂的“非常距離”為|x₁-x₂|；
若|x₁-x₂|＜|y₁-y₂|，則點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂的“非常距離”為|y₁-y₂|．
例如：點(diǎn)P₁（1，2），點(diǎn)P₂（3，5），因?yàn)閨1-3|＜|2-5|，所以點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂的“非常距離”為|2-5|=3，也就是圖1中線段P₁Q與線段P₂Q長(zhǎng)度的較大值（點(diǎn)Q為垂直于y軸的直線P₁Q與垂直于x軸的直線P₂Q交點(diǎn)）．

（1）已知點(diǎn)A（-$\frac{1}{2}$，0），B為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
①若點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”為2，寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)；
②直接寫(xiě)出點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”的最小值；
（2）已知C是直線y=$\frac{3}{4}$x+3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
①如圖2，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，1），求點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)；
②如圖3，E是以原點(diǎn)O為圓心，1為半徑的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)C與點(diǎn)E的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)E與點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)點(diǎn)B位于y軸上，可以設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，y）．由“非常距離”的定義可以確定|0-y|=2，據(jù)此可以求得y的值；
②設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，y）．因?yàn)閨-$\frac{1}{2}$-0|≥|0-y|，所以點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”最小值為|-$\frac{1}{2}$-0|=$\frac{1}{2}$；
（2）①設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x₀，$\frac{3}{4}$x₀+3）．根據(jù)材料“若|x₁-x₂|≥|y₁-y₂|，則點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂的“非常距離”為|x₁-x₂|”知，C、D兩點(diǎn)的“非常距離”的最小值為-x₀=$\frac{3}{4}$x₀+2，據(jù)此可以求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
②當(dāng)點(diǎn)E在過(guò)原點(diǎn)且與直線y=$\frac{3}{4}$x+3垂直的直線上時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)E的“非常距離”最小，即E（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）．解答思路同上．

解答 解：（1）①∵B為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，y）．
∵|-$\frac{1}{2}$-0|=$\frac{1}{2}$≠2，
∴|0-y|=2，
解得y=2或y=-2；
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，2）或（0，-2）；
②點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”的最小值為$\frac{1}{2}$；

（2）①如圖2，取點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值時(shí)，需要根據(jù)運(yùn)算定義“若|x₁-x₂|≥|y₁-y₂|，則點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂的“非常距離”為|x₁-x₂|”解答，此時(shí)|x₁-x₂|=|y₁-y₂|．即AC=AD，
∵C是直線y=$\frac{3}{4}$x+3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，1），
∴設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x₀，$\frac{3}{4}$x₀+3），
∴-x₀=$\frac{3}{4}$x₀+2，
此時(shí)，x₀=-$\frac{8}{7}$，
∴點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值為：|x₀|=$\frac{8}{7}$，
此時(shí)C（-$\frac{8}{7}$，$\frac{15}{7}$）；
②當(dāng)點(diǎn)E在過(guò)原點(diǎn)且與直線y=$\frac{3}{4}$x+3垂直的直線上時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)E的“非常距離”最小，設(shè)E（x，y）（點(diǎn)E位于第二象限）．則
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y}{x}=-\frac{4}{3}}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{5}}\\{y=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，
故E（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）．
-$\frac{3}{5}$-x₀=$\frac{3}{4}$x₀+3-$\frac{4}{5}$，
解得x₀=-$\frac{8}{5}$，
則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-$\frac{8}{5}$，$\frac{9}{5}$），最小值為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)綜合題．對(duì)于信息給予題，一定要弄清楚題干中的已知條件．本題中的“非常距離”的定義是正確解題的關(guān)鍵．