Question

7．如圖，在⊙O中，直徑AB垂直弦CD于E，過(guò)點(diǎn)D作弦AH的垂線，垂足為F，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．
（1）若AD平分∠BAH，求證：PF是⊙O的切線；
（2）連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)G，連接EG，DC=AE=8，求線段EG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠DAB=∠ADO，再由已知條件得出∠ADO=∠DAF，證出OD∥AF，由已知DF⊥AF，得出DF⊥OD，即可得出結(jié)論；
（2）連接DG，由垂徑定理得出DE=CE=4，得出CD=8，由勾股定理求出DG，再由勾股定理求出EG即可．

解答 （1）證明：連接OD，如圖所示：
∵OA=OD，
∴∠DAB=∠ADO，
∵AD平分∠BAH，
∴∠DAF=∠DAB，
∴∠ADO=∠DAF，
∴OD∥AF，
又∵DF⊥AF，
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切線；

（2）解：連接DG，如圖所示：
∵AB⊥CD，
∴DE=CE=4，
∴CD=DE+CE=8，
設(shè)OD=OA=x，則OE=8-x，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE²+DE²=OD²，
即（8-x）²+4²=x²，
解得：x=5，
∴CG=2OA=10，
∵CG是⊙O的直徑，
∴∠CDG=90°，
∴DG=$\sqrt{C{G}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴EG=$\sqrt{D{G}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓的綜合題目，考查了切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定，相交弦定理，本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，熟練掌握切線的判定和勾股定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．