Question

18．（1）如圖1，點P是正方形ABCD內(nèi)的一點，把△ABP繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點A與點C重合，點P的對應(yīng)點是Q．若PA=3，PC=5，PB=2$\sqrt{2}$，求∠APB的度數(shù)；
（2）如圖，在四邊形ABCD中，AD=5，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，求BD的長．

Answer 1

分析 （1）將△ABP繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)能與△CBQ重合，所以△ABP和△BCQ全等，連接PQ從而可求出其長度，再根據(jù)勾股定理的逆定理證明∠PQC是直角，∠PQB=45°，從而求出∠APB的度數(shù)；
（2）根據(jù)等式的性質(zhì)，可得∠BAD與∠CAD′的關(guān)系，根據(jù)SAS，可得△BAD與△CAD′的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得BD與CD′的關(guān)系，根據(jù)勾股定理，可得答案．

解答 解：（1）連接PQ，
∵△ABP≌△BCQ，
∴∠ABP=∠CBQ，
∴∠PBQ=90°，
∵PB=BQ=2$\sqrt{2}$，
∴PQ=$\sqrt{P{B}^{2}+B{Q}^{2}}$=4，
由旋轉(zhuǎn)，QC=PA=3，
在△QPC中，4²+3²=5²，
所以△QPC為直角三角形．
∴∠PQC=90°，
∵△PBQ是等腰直角三角形，
∴∠PQB=45°，
∴∠PQC+∠PQB=∠APB=135°；

（2）作AD′⊥AD，AD′=AD，連接CD′，DD′，如圖2：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD與△CAD′中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=CA}\\{∠BAD=∠CAD′}\\{AD=AD′}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAD′（SAS），
∴BD=CD′．
∠DAD′=90°
由勾股定理得DD′=$\sqrt{A{D}^{2}+（AD′）^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∠D′DA+∠ADC=90°
由勾股定理得CD′=$\sqrt{D{C}^{2}+（DD′）^{2}}$=$\sqrt{59}$，
∴BD=CD′=$\sqrt{59}$．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)作出全等圖形是解題關(guān)鍵．