Question

16．如圖，己知點(diǎn)A（1，$\sqrt{3}$）在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，連接OA，將線段OA繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)30°，得到線段OB．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）判斷點(diǎn)B是否在反比例函數(shù)圖象上，并說(shuō)明理由；
（3）設(shè)直線AB的解析式為y=ax+b，請(qǐng)直接寫(xiě)出不等式ax+b-$\frac{k}{x}$＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可計(jì)算出k=$\sqrt{3}$，于是得到反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$；
（2）作AE⊥y軸于E，BF⊥x軸于F，如圖，在Rt△OAE中根據(jù)正切定義得到tan∠AOE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則∠AOE=30°，所以O(shè)A=2AE=2，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠AOB=30°，OB=OA=2，于是可計(jì)算出∠BOF=30°，接著在Rt△BOF中，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得BF=$\frac{1}{2}$OB=1，OF=$\sqrt{3}$BF=$\sqrt{3}$，則B（$\sqrt{3}$，1），然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征判斷點(diǎn)B（$\sqrt{3}$，1）是否在反比例函數(shù)y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$的圖象上；
（2）觀察函數(shù)圖象，寫(xiě)出反比例函數(shù)圖象在直線AB上方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（1，$\sqrt{3}$）在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴k=1×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$；
（2）點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖象上．理由如下：
作AE⊥y軸于E，BF⊥x軸于F，如圖，
在Rt△OAE中，∵AE=1，OE=$\sqrt{3}$，
∴tan∠AOE=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠AOE=30°，OA=2AE=2，
∵線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)30°，得到線段OB，
∴∠AOB=30°，OB=OA=2，
∴∠BOF=30°，
在Rt△BOF中，BF=$\frac{1}{2}$OB=1，
OF=$\sqrt{3}$BF=$\sqrt{3}$，
∴B（$\sqrt{3}$，1），
∵當(dāng)x=$\sqrt{3}$時(shí)，y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$=1，
∴點(diǎn)B（$\sqrt{3}$，1）在反比例函數(shù)y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$的圖象上；
（2）0＜x＜1或x＞$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無(wú)解，則兩者無(wú)交點(diǎn)．也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和解直角三角形．