Question

8．如圖，已知拋物線y=ax²-5ax+2（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求直線BC的解析式；
（3）若點(diǎn)N是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作NH⊥x軸，垂足為H，以B，N，H為頂點(diǎn)的三角形是否能夠與△OBC相似（排除全等的情況）？若能，請求出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A坐標(biāo)代入拋物線y=ax²-5ax+2（a≠0）求得拋物線的解析式即可；
（2）求出拋物線的對稱軸，再求得點(diǎn)B、C坐標(biāo)，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，再把B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入線BC的解析式為y=kx+b，求得k和b即可；
（3）設(shè)N（x，ax²-5ax+2），分兩種情況討論：①△OBC∽△HNB，②△OBC∽△HBN，根據(jù)相似，得出比例式，再分別求得點(diǎn)N坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（1，0）在拋物線y=ax²-5ax+2（a≠0）上，
∴a-5a+2=0，
∴a=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2；
（2）拋物線的對稱軸為直線x=$\frac{5}{2}$，
∴點(diǎn)B（4，0），C（0，2），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
∴把B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入線BC的解析式為y=kx+b，得
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得k=-$\frac{1}{2}$，b=2，
∴直線BC的解析式y(tǒng)=-$\frac{1}{2}$x+2；
（3）
方法一：
設(shè)N（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2），分三種情況討論：
①當(dāng)△OBC∽△HNB時(shí)，如圖1，
$\frac{OB}{HN}$=$\frac{OC}{BH}$，
即$\frac{4}{\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{5}{2}x+2}$=$\frac{2}{x-4}$，
解得x₁=5，x₂=4（不合題意，舍去），
∴點(diǎn)N坐標(biāo)（5，2）；
②當(dāng)△OBC∽△HBN時(shí)，如圖2，
$\frac{OB}{BH}$=$\frac{OC}{HN}$，
即$\frac{4}{4-x}$=-$\frac{2}{\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{5}{2}x+2}$，
解得x₁=2，x₂=4（不合題意舍去），
∴點(diǎn)N坐標(biāo)（2，-1）；
③當(dāng)N（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2）在第二象限時(shí)，
H（x，0）在x軸的負(fù)半軸上，
∴BH=4-x，
∵△OBC∽△HNB，
∴$\frac{OB}{HN}=\frac{OC}{HB}$，
即$\frac{4}{\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{5}{2}x+2}$=$\frac{2}{4-x}$，
得到x²-x-12=0
解得x₁=4（舍去）； x₂=-3，
∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，14）
綜上所述，N點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，2）、（2，-1）或（-3，14）．

方法二：
以B，N，H為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似，
∴$\frac{NH}{NB}=\frac{OB}{OC}$，$\frac{HN}{NB}=\frac{OC}{OB}$，
設(shè)N（2n，2n²-5n+2），H（2n，0），
①|(zhì)$\frac{2{n}^{2}-5n+2}{2n-4}$|=$\frac{4}{2}$，
∴|$\frac{2n-1}{2}$|=2，
∴2n₁=5，2n₂=-3，
②|$\frac{2{n}^{2}-5n+2}{2n-4}$|=$\frac{1}{2}$，
∴|$\frac{2n-1}{2}$|=$\frac{1}{2}$，
∴2n₁=2，2n₂=0（舍）
綜上所述：存在N₁（5，2），N₂（2，-1），N₃（-3，14），
使得以點(diǎn)B、N、H為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題，以及二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)的解析式的確定以及三角形的相似，解答本題需要較強(qiáng)的綜合作答能力，特別是作答（3）問時(shí)需要進(jìn)行分類，這是同學(xué)們?nèi)菀缀雎缘牡胤�，此題難度較大．