Question

18．如圖，AB是以BC為直徑的半圓O的切線，D為半圓上一點，AD=AB，AD、BC的延長線相交于點E．
（1）求證：AD是半圓O的切線；
（2）連結CD，求證：∠A=2∠CDE．

Answer 1

分析 （1）連接OD，BD，根據圓周角定理得到∠ABO=90°，根據等腰三角形的性質得到∠ABD=∠ADB，∠DBO=∠BDO，根據等式的性質得到∠ADO=∠ABO=90°，根據切線的判定定理即可得到即可；
（2）由AD是半圓O的切線得到∠ODE=90°，于是得到∠ODC+∠CDE=90°，根據圓周角定理得到∠ODC+∠BDO=90°，等量代換得到∠DOC=2∠BDO，∠DOC=2∠CDE即可得到結論．

解答 解：（1）連結OD，BD，

∵AB是⊙O的切線，
∴AB⊥BC，即∠ABC=90°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵OB=OD，
∴∠DBO=∠BDO，
∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO，
∴∠ADO=∠ABO=90°，
∴AD是半圓O的切線．

（2）由（1）知，∠ADO=∠ABO=90°，
∴∠A=360°-∠ADO-∠ABO-∠BOD=180°-∠BOD=∠DOC，
∵AD是半圓O的切線，
∴∠ODE=90°，
∴∠ODC+∠CDE=90°，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠ODC+∠BDO=90°，
∴∠BDO=∠CDE，
∵∠BDO=∠OBD，
∴∠DOC=2∠BDO，
∴∠DOC=2∠CDE，
∴∠A=2∠CDE．

點評 本題考查了切線是性質，弧長的計算，圓周角定理，等腰三角形的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．