Question

6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D為AB的中點，點E是射線AC上的一個動點，沿折痕DE將∠A折疊．使得點A的對應(yīng)點A'落在BC邊上，若以D，E，A'為頂點的三角形與△ABC相似，則AE的長為1.5或$\frac{25}{6}$．

Answer 1

分析 利用勾股定理列式求出AB，根據(jù)線段中點的定義求出AD，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得△ADE≌△A′DE，再根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例夾角相等，兩三角形相似，分兩種情況列式求解即可．

解答 解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴ABA=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵D為AB的中點，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=2.5，
∵折痕DE將∠A折疊．使得點A的對應(yīng)點A'落在BC邊上，
∴△ADE≌△A′DE，
∵以D，E，A'為頂點的三角形與△ABC相似，
∴以A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似，
①若△ADE∽△ABC，則$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$，
即$\frac{2.5}{5}$=$\frac{AE}{3}$，
解得AE=1.5，
②若△AED∽△ABC，則$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，
即$\frac{AE}{5}$=$\frac{2.5}{3}$，
解得AE=$\frac{25}{6}$，
綜上所述，AE的長為1.5或$\frac{25}{6}$．
故答案為：1.5或$\frac{25}{6}$．

點評 本題考查了相似三角形的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，翻折前后的兩個三角形全等，難點在于要分情況討論．