Question

9．數(shù)學課中，李老師提出了下面問題：已知正數(shù)x，y滿足x²+y²=16，求xy的最大值．
（1）為了求xy的最大值，小王想到了直角三角形，把問題轉化為已知直角三角形的斜邊求面積最大值的問題，請你畫出圖形，寫出轉化后問題的“已知”和“求”；
（2）一個直角三角形的斜邊固定時，它的直角頂點是可以變化的，請畫出問題（1）中直角三角形的直角頂點的所有可能位置所組成的圖形，猜想（1）中問題的結論并證明結論；
（3）拓展：根據(jù)上述思考，你能進一步求出x+y的最大值和最小值嗎？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正數(shù)x，y滿足x²+y²=16，構造Rt△ABC，∠C=90°，斜邊AB=4，兩條直角邊分別為x和y，求△ABC面積的2倍是最大值；
（2）問題（1）中直角三角形的直角頂點的所有位置組成的圖形是以AB為直徑的圓（A，B兩點除外），過C作CE⊥AB，根據(jù)垂徑定理，得到CD=$\frac{1}{2}$CE，再根據(jù)CE的最大值為直徑的長4，得到CD的最大值是半徑2，即當點D與圓心O重合，即x=y時，△ABC面積最大，最大值為4，據(jù)此判斷即可；
（3）根據(jù)x+y=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+2xy}$，以及xy的最大值是8，求得x+y≤$\sqrt{16+16}$=4$\sqrt{2}$，即可得出x+y的最大值是4$\sqrt{2}$，沒有最小值．

解答 解：（1）已知：如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，斜邊AB=4，求：△ABC面積的2倍是最大值；


（2）問題（1）中直角三角形的直角頂點的所有位置組成的圖形是以AB為直徑的圓（A，B兩點除外），
如圖所示，過C作CE⊥AB，

根據(jù)垂徑定理，CD=$\frac{1}{2}$CE，
∵AB=4，
∴當CD最大時，△ABC面積最大．
又∵CE的最大值為直徑的長4，
∴CD的最大值是半徑2，
即當點D與圓心O重合，即x=y時，△ABC面積最大，最大值為4，
∴當x=y=2$\sqrt{2}$時，xy有最大值8．

（3）∵x+y=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+2xy}$，而xy的最大值是8，
∴x+y≤$\sqrt{16+16}$=4$\sqrt{2}$，
∴x+y的最大值是4$\sqrt{2}$，沒有最小值．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了勾股定理以及垂徑定理的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造圓和直角三角形．解題時注意：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條�。�