Question

8．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，AC=2AB，延長(zhǎng)AB至G，使BG=AB，連接GO交BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)GO交AD于點(diǎn)F，判斷四邊形AECF的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 根據(jù)中點(diǎn)定義可得AC=2AO，然后求出AO=AB，AC=AG，再利用“邊角邊”證明△AOG和△ABC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ABC=∠AOG=90°，再利用“角邊角”證明△AOF和△COE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AF=CE，然后求出四邊形AECF為平行四邊形，最后根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形證明．

解答 解：四邊形是菱形，
理由：∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FAO=∠ECO，
又∵BG=AB，AC=2AB，O為AC中點(diǎn)，
∴AO=CO=AB，AC=AG，
在△AOG和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=AB}\\{∠BAC=∠OAG}\\{AC=AG}\end{array}\right.$，
∴△AOG≌△ABC（SAS），
∴∠ABC=∠AOG=90°，
在△AOF和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAO=∠ECO}\\{AO=CO}\\{∠AOF=∠COE}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=CE，
∴四邊形AECF為平行四邊形，
又∵AC⊥EF，
∴四邊形AECF為菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，熟記各圖形的性質(zhì)與判定方法找出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．