Question

4．如圖，直線y=kx與雙曲線y=$\frac{m-5}{x}$在第一象限交于點(diǎn)A，在第三象限交于點(diǎn)B，N是點(diǎn)A右側(cè)雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，BN交x軸于M點(diǎn)．
（1）直接寫出k和m的取值范圍；
（2）若A（3，4），AN⊥AB，求△ABN的面積；
（3）求證：∠ANB=2∠OMB．

Answer 1

分析 （1）直接利用反比例函數(shù)的性質(zhì)即可建立不等式即可；
（2）先確定出直線AB的解析式，進(jìn)而得出AN的解析式，聯(lián)立反比例函數(shù)的解析式即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)，最后用三角形的面積即可得出結(jié)論；
（3）先設(shè)出點(diǎn)A，N坐標(biāo)，進(jìn)而表示出AD，ND，NF，BF，再利用三角函數(shù)判斷出∠ANF=∠BNF即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵直線y=kx與雙曲線y=$\frac{m-5}{x}$在第一象限交于點(diǎn)A，在第三象限交于點(diǎn)B，
∴k＞0，m-5＞0，
∴m＞5；
（2）如圖，過點(diǎn)N作DE∥x軸交AB于E，
將A（3，4），代入直線y=kx中，得，3k=4，
∴k=$\frac{4}{3}$，
∴直線AB的解析式為y=$\frac{4}{3}$x，
∵A，B是正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)，
∴B（-3，-4），
∴AB=10，
∵AN⊥AB，A（3，4），
∴直線AN的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{25}{4}$②，
將A（3，4）代入雙曲線y=$\frac{m-5}{x}$中，m-5=3×4，
∴m=17，
∴雙曲線的解析式為y=$\frac{12}{x}$①，
聯(lián)立①②得，x=3（點(diǎn)A的橫坐標(biāo)）或x=$\frac{16}{3}$＞3，
∴N（$\frac{16}{3}$，$\frac{9}{4}$），
∵A（3，4），
設(shè)DE交AB于E，
∴E（$\frac{27}{16}$，$\frac{9}{4}$），
∴EN=$\frac{16}{3}$-$\frac{27}{16}$=$\frac{175}{48}$，
∴S_△ABN=S_△AEN+S_△BEN=$\frac{1}{2}$×$\frac{175}{48}$×8=$\frac{175}{12}$；

（3）如圖1，過點(diǎn)N作NE∥x軸于E，過點(diǎn)A作AC⊥x軸于C交EN于D，過點(diǎn)B作BF⊥NE于F，
∠OMB=∠BNF
設(shè)點(diǎn)A（a，ak），N（n，$\frac{m-5}{n}$），
∴B（-a，-ak），
∵點(diǎn)A也在雙曲線上，
∴a×ak=m-5，
即：a²k=m-5，
∴ak=$\frac{m-5}{a}$
∴AD=ak-$\frac{m-5}{n}$，DN=n-a，
在Rt△ADN中，tan∠AND=$\frac{AD}{DN}$=$\frac{ak-\frac{m-5}{n}}{n-a}$=$\frac{ank-（m-5）}{n（n-a）}$=$\frac{\frac{n（m-5）}{a}-（m-5）}{n（n-a）}$=$\frac{m-5}{an}$，
在Rt△MFN中，BF=$\frac{m-5}{n}$+ak，NF=n+a
∴tan∠FNB=$\frac{MF}{NF}$=$\frac{\frac{m-5}{n}+ak}{n+a}$=$\frac{（m-5）+ank}{n（n+a）}$=$\frac{（m-5）+\frac{n（m-5）}{a}}{n（n+a）}$=$\frac{m-5}{an}$，
∴∠FNB=∠AND，
∵∠OMB=∠FNM，
∴∠ANB=2∠DMB．

點(diǎn)評(píng) 此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，三角形的面積公式，銳角三角函數(shù)的意義，解（2）的關(guān)鍵是確定出點(diǎn)N的坐標(biāo)，解（3）的關(guān)鍵是判斷出∠FNB=∠AND．