Question

15．如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A（-4，0），B（2，0），與y軸交于點C（0，2）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點D為該拋物線上的一個動點，且在直線AC上方，當以A，C，D為頂點的三角形面積最大時，求點D的坐標及此時三角形的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A與B坐標設出拋物線解析式，將C坐標代入即可求出；
（2）過點D作DH⊥AB于點H，交直線AC于點G，連接DC，AD，如圖所示，利用待定系數(shù)法求出直線AC解析式，設D橫坐標為m，則有G橫坐標也為m，表示出DH與GH，由DH-GH表示出DG，三角形ADC面積=三角形ADG面積+三角形DGC面積，表示出面積與m的關(guān)系式，利用二次函數(shù)性質(zhì)確定出面積的最大值，以及此時m的值，即此時D的坐標即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意設拋物線解析式為y=a（x+4）（x-2），
把C（0，2）代入得：-8a=2，即a=-$\frac{1}{4}$，
則拋物線解析式為y=-$\frac{1}{4}$（x+4）（x-2）=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+2；
（2）過點D作DH⊥AB于點H，交直線AC于點G，連接DC，AD，如圖所示，
設直線AC解析式為y=kx+t，則有$\left\{\begin{array}{l}{-4k+t=0}\\{t=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{t=2}\end{array}\right.$，
∴直線AC解析式為y=$\frac{1}{2}$x+2，
設點D的橫坐標為m，則G橫坐標也為m，
∴DH=-$\frac{1}{4}$m²-$\frac{1}{2}$m+2，GH=$\frac{1}{2}$m+2，
∴DG=-$\frac{1}{4}$m²-$\frac{1}{2}$m+2-$\frac{1}{2}$m-2=-$\frac{1}{4}$m²-m，
∴S_△ADC=S_△ADG+S_△CDG=$\frac{1}{2}$DG•AH+$\frac{1}{2}$DG•OH=$\frac{1}{2}$DG•AO=2DG=-$\frac{1}{2}$m²-2m=-$\frac{1}{2}$（m²+4m）=-$\frac{1}{2}$[（m+2）²-4]=-$\frac{1}{2}$（m+2）²+2，
當m=-2時，S_△ADC取得最大值2，此時y_D=-$\frac{1}{4}$×（-2）²-$\frac{1}{2}$×（-2）+2=2，即D（-2，2）．

點評 此題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的最值，以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．