Question

9．如圖，AB是⊙O的直徑，C是弧AB的中點，D是⊙O的切線CN上一點，BD交AC于點E，且BA=BD．
（1）求證：∠ACD=45°；
（2）若OB=2，求DC的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)C是弧AB的中點，證明AC=BC，連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)證明∠OCD=90°，得到答案；
（2）作BH⊥DC于H點，求出BH，根據(jù)勾股定理計算即可．

解答 （1）證明：∵C是弧AB的中點，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，
∴AC=BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠CBA=45°，
連接OC，∵OC=OA，
∴∠AC0=45°，
∵CN是⊙O切線，
∴∠OCD=90°，
∴∠ACD=45°．
（2）解：作BH⊥DC于H點，
∵∠ACD=45°，
∴∠DCB=135°，
∴∠BCH=45°，
∵OB=2，
∴BA=BD=4，AC=BC=$2\sqrt{2}$．
∵BC=$2\sqrt{2}$，
∴BH=CH=2，
設(shè)DC=x，在Rt△DBH中，
利用勾股定理：（x+2）²+2²=4²，
解得：x=$-2±2\sqrt{3}$（舍負(fù)的），
∴x=$-2+2\sqrt{3}$，
∴DC的長為：$-2+2\sqrt{3}$．

點評 本題考查了圓的切線性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，運用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．