Question

4．【問題】如圖①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=80°，則∠BEC=130°；若∠A=n°，則∠BEC=90°+$\frac{1}{2}$n°．


【探究】
（1）如圖②，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB．若∠A=n°，則∠BEC=60°+$\frac{2}{3}$n°；
（2）如圖③，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試分析∠BOC和∠A有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說明理由；
（3）如圖④，O是外角∠DBC與外角∠BCE的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？（只寫結(jié)論，不需證明）

Answer 1

分析 問題：利用三角形的內(nèi)角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再利用角平分線的定義求出∠EBC+∠ECB，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列式計(jì)算即可得解；將∠A的度數(shù)換成n°，然后求解即可；
探究：（1）利用三角形的內(nèi)角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再利用三等分角求出∠EBC+∠ECB，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列式計(jì)算即可得解；
（2）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和表示出∠ACD和∠OCD，再根據(jù)角平分線的定義可得∠ABC=2∠OBC，∠ACD=2∠OCD，然后整理即可得解；
（3）根據(jù)平角的定義以及角平分線的定義表示出∠OBC和∠OCB，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式表示出∠BOC，然后整理即可得解．

解答 【問題】解：∵∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ECB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$×100°=50°，
∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-50°=130°；
由三角形的內(nèi)角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-n°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ECB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$×（180°-n°）=90°-$\frac{1}{2}$n°，
∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-（90°-$\frac{1}{2}$n°）=90°+$\frac{1}{2}$n°；

探究：解：（1）由三角形的內(nèi)角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-n°，
∵BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，
∴∠EBC=$\frac{2}{3}$∠ABC，∠ECB=$\frac{2}{3}$∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB=$\frac{2}{3}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{2}{3}$×（180°-n°）=120°-$\frac{2}{3}$n°，
∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-（120°-$\frac{2}{3}$n°）=60°+$\frac{2}{3}$n°；

（2）∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A．
理由如下：由三角形的外角性質(zhì)得，∠ACD=∠A+∠ABC，
∠OCD=∠BOC+∠OBC，
∵O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn)，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACD=2∠OCD，
∴∠A+∠ABC=2（∠BOC+∠OBC），
∴∠A=2∠BOC，
∴∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A；

（3）∵O是外角∠DBC與外角∠BCE的平分線BO和CO的交點(diǎn)，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$（180°-∠ABC）=90°-$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$（180°-∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（90°-$\frac{1}{2}$∠ABC）-（90°-$\frac{1}{2}$∠ACB）=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
由三角形的內(nèi)角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠BOC=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
故答案為：130°，90°+$\frac{1}{2}$n°；（1）60°+$\frac{2}{3}$n°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．