Question

3．在?ABCD中，∠ABC=30°，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，已知BE=$\sqrt{3}$，CF=1，則AC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 或2．

Answer 1

分析 分兩種情形：①如圖1中，當F在線段CD上時．②當F在線段DC的延長線上時，分別求解即可．

解答 解：①如圖1中，當F在線段CD上時．

在Rt△ABE中，∵∠B=30°，BE=$\sqrt{3}$，∠AEB=90°，
∴AE=1，AB=2，
∵CF=1，AB=CD=2，
∴DF=CF=1，
∵AF⊥CD，
∴AC=AD，
在Rt△ADF中，∠D=30°，cos30°=$\frac{DF}{AD}$，
∴AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴AC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
②當F在線段DC的延長線上時，

在Rt△ABE中，∵∠B=30°，BE=$\sqrt{3}$，∠AEB=90°，
∴AE=1，AB=2，
∵CF=1，AB=CD=2，
∴DF=3，
∵AF⊥CD，∠D=∠B=30°，
∴AD=BC=2$\sqrt{3}$，
∴BE=EC，
∵AE⊥BC，
∴AC=AB=2，
故答案為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或2

點評 本題看平行四邊形的性質、解直角三角形、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，則有一題多解，屬于中考填空題中的壓軸題．