Question

6．如圖（1），（2）、（3），…（n），點M，N分別是⊙O的內(nèi)接等邊三角形ABC，內(nèi)接正方形ABCD，內(nèi)接正五邊形ABCDE，…，內(nèi)接正n邊形ABCDE…的邊AB，BC上的點，且BM=CN，連接OM，ON．
（1）求圖（1）中∠MON的度數(shù)；
（2）圖（2）中∠MON的度數(shù)是90°；
（3）圖（3）中∠MON的度數(shù)是72°．

Answer 1

分析 （1）本題主要證明△OBM≌△OCN就可以證明∠MOB=∠NOC，從而得到∠MON=∠BOC即可求解；
（2）解決方法與（1）的解決方法相同；
（3）解決方法與（1）的解決方法相同．

解答 解：（1）如圖1，連接OB、OC；
∵△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，
∴OB=OC，∠BOC=120°，
∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠MBO=∠NCO=30°，
在△BOM與△CON中，$\left\{\begin{array}{l}{BM=CN}\\{∠MBO=∠NCO}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
∴△OBM≌△OCN，
∴∠MOB=∠NOC，
∴∠MON=∠BOC=120°；

（2）如圖2，連接OB、OC；
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，
∴OB=OC，∠BOC=90°，
∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠MBO=∠NCO=45°，
在△BOM與△CON中，$\left\{\begin{array}{l}{BM=CN}\\{∠MBO=∠NCO}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
∴△OBM≌△OCN，
∴∠MOB=∠NOC，
∴∠MON=∠BOC=90°；
故答案為：90°；

（3）如圖3，連接OB、OC；
∵五邊形形ABCD是⊙O的內(nèi)接五邊形，
∴OB=OC，∠BOC=72°，
∠OBC=∠OCB=54°，
∴∠MBO=∠NCO=54°，
在△BOM與△CON中，$\left\{\begin{array}{l}{BM=CN}\\{∠MBO=∠NCO}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
∴△OBM≌△OCN，
∴∠MOB=∠NOC，
∴∠MON=∠BOC=72°；
故答案為：72°．

點評 本題考查了正多邊形外接圓中心角的性質(zhì)，圓心角的計算，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握正多邊形外接圓中心角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．